könnten wir die Definition der Konvergenz verwenden?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie:

(a) Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.

(b) Jede Teilfolge einer konvergenten Folge an → a konvergiert ebenfalls gegen a.

(c) Jede konvergente Folge ist beschränkt (d. h. sie besitzt eine obere und untere Schranke).

Problem/Ansatz:

a)

also

Eine Folge(a_n) konvergiert gegen den Grenzwert G, wenn ε eine natürliche Zahl ℕ existiert, so dass für alle n≥ℕ gilt

das hab ich vom tutor, das mit den natürlichen Zahlen also n≥ℕ verstehe ich nicht ganz und das mit Epsilon auch nicht so

ich hätte gesagt wir machen es so:

ιa_n - Gι < ε

das zeigt uns, wenn diese "Formel" gilt, dass wir einen Grenzwert haben, der gilt (ich weiß wie und ob ich das auch beweisen soll, falls ja kann mir da jemand helfen) und wenn wir beweisen wollen, dass wir genau einen Grenzwert haben

machen wir: G₁ und G₂

nehmen an sie sind ungleich

und dann war der Tipp hier dass wir eine Dreiecksungleichung konstruieren soll .-.

b)

kein Plan. help me :(

c)

könnten wir die Definition der Konvergenz verwenden?

Eine konvergente Folge a_n mit Grenzwert g erfüllt die Bedingung, dass für jede positive Zahl ε>0 ist oder?

also machen wir aus

Ia_n - aI < ε

Ian - aI < 1

und aus Ian - aI < ε

Ian - aI < 1 < M + 1 für die obere Schranke

Comments

Teil (a) vielleicht so: \(\lvert g_1-g_2\rvert=\lvert(a_n-g_2)+(g_1-a_n)\rvert\le\vert a_n-g_2\rvert+\lvert g_1-a_n\lvert\le\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon\).

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Teil (b) gleiche Prinzip. Nimm Teilfolge an_k : I ank - a I  ≤ I ank - an I +I an - a I ≤ ε +ε (Jede Konvergente Folge ist auch eine Cauchy-Folge)