Wie soll man dann weiter das Montonieverhalten zeigen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f : D -> R mit f(x) = ln(1/(1-x)). Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion auf ihrem maximalen Definitionsbereich.

Problem/Ansatz:

Ich habe herausgefunden das der Defintionsbereich (- unendlich , 1) ist .Die erste Ableitung  1/ 1-x hat keinen Hochpunkt und Tiefpunkt . Wie soll man dann weiter das Montonieverhalten zeigen ? Vielen Dank für die Hilfe .

Answer 1

1.Ableitung
f ´( x ) = - 1 / ( x - 1)
x von - ∞ .. 1
f ´( -∞ ) = - 1 / ( -∞ - 1) = 0
f ´( 1) = -1 /( 1 - 1 ) = ∞
Die Steigung der Funktion ist immer positiv = steigend..

Answer 2

Zunächst sollte man den Definitionsbereich untersuchen

LN(1/(1 - x)) ist definiert solange gilt:

1/(1 - x) > 0 und 1 - x ≠ 0 --> x < 1

Im Definitionsbereich ist

x streng monoton wachsend

1 - x streng monoton fallend

1/(1 - x) streng monoton wachsend

LN(1/(1 - x)) streng monoton wachsend