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Aufgabe:

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Text erkannt:

10.4 Seien \( n \geq 2, \mathbb{K} \) ein Körper und \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{K} \). Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Mengen Unterräume des Vektorraums \( \mathbb{K}^{n} \) sind:
(a) \( M_{1}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \mid \sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} x_{i}=1\right\} \),
(b) \( M_{2}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \mid \sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} x_{i}=0\right\} \),
(c) \( M_{3}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \mid x_{1} \cdot x_{2}=0\right\} \).
(d) Sei nun \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) und \( M_{4}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum \limits_{i=1}^{n-1} x_{i} \geq x_{n}\right\} \).
(6 Punkte)

Problem/Ansatz:

bei a und c handelt es sich nicht um Untervekorräume, dass habe ich auch schon mit Gegenbeispielen gezeigt. Aber bei b und d handelt es sich um untervektorräume, sodass ich dies ja mit dem Unterraumkriterium beweisen kann. Dieses besagt ja das M nicht leer sein darf und das sowohl für x als auch für die Multiplikation abgeschlossen ist. Aber wie kann ich diese eigeschaften nun vernünftig mathematisch im Beweis formulieren. Die Summen irritieren mich irgendwie.

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1 Antwort

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Hallo

du musst doch einfach zeigen, dass a) der 0 Vektor dazugehört, b) wenn es für die xi  gilt auch für die r*xi und wenn es für xi, yi gilt auch für die xi+yi

in d) kannst du die Vektoren schreiben als (x1,x2, xn-1\( \sum\limits_{i=1}^{n-1}{x_i} -\epsilon\)

oder überleg erst in R^3 dann allgemeiner

mit ε >=0

jetzt klarer ?

lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo also der Beweis für aufgabe b war für mich jetzt lösbar aber bei d hilft mir dein Hinweis leider nicht wirklich, kannst du das vielleicht auch nochmal anders erklären?

ich hab doch praktisch explizit einen Vektor hingeschrieben, wenn du ihn mit r multiplizierst  bleibt die Eigenschaft, wenn du 2 addierst auch ( die 2 mit ε1 und ε2 beide >=0

lul

Also irgendwie bin ich gerade komplett raus. Die Abgeschlossenheit in der Multiplikation ist ja demnach gezeigt aber was ist mit der Addition? Gilt die nur wenn man mit 2 addiert oder auch bei anderen Zahlen? Weil wenn es nur für 2 gilt wäre es doch gar kein Untercektorraum? Und wie kann ich das vernünftig aufschreiben , das der Nullvektor enthalten ist?

Hallo

mit 2 addieren meinte ich 2 Vektoren der Form addieren also (x1,....)+(y1,...)

zu einem Vektor 2 zu addieren geht doch nicht?

lul

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