Differntialrechnung bei E-Funktionen

Question

Aufgabe:

\( f(x)=x^{n} \cdot \mathrm{e}^{x} \)

Lösung:

\( \begin{array}{l} f^{\prime}(x)=\left(x^{n} \cdot \mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\left|\begin{array}{c} \text { Produkt- } \\ \text { regel } \end{array}\right|=n \cdot x^{n-1} \cdot \mathrm{e}^{x}+x^{n} \cdot \mathrm{e}^{x} \\\\ =\mathrm{e}^{x} \cdot\left(n \cdot x^{n-1}+x^{n-1} \cdot x\right) \\\\ =\mathrm{e}^{x} \cdot x^{n-1} \cdot(n+x)\\\\ =\underline{\underline{(n+x) \cdot x^{n-1} \cdot \mathrm{e}^{x}}} \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Die obere Funktion soll differenziert werden. Wie man die Produktregel anwendet habe ich auch verstanden. Aber was wird da genau zusammengefasst? Ich würde es nämlich eigentlich so ausklammern:

e^x (n•x^n-1 + x^n)

Answer 1

Man klammert gewöhnlich maximal aus, den ggT der Summanden.

Comments

Ja, aber wieso kann n auch ausgeklammert werden?

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n wurde nicht ausgeklammert, es verbleibt in der Klammer.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zum Ausklammern suchst du in den Summanden nach gleichen Faktoren. Diese gleichen Faktoren kannst du nach dem Distributivgesetz ausklammern:$$f'(x)=n\cdot x^{n-1}\cdot \pink{e^x}+x^n\cdot \pink{e^x}$$$$f'(x)=\pink{e^x}\cdot(n\cdot x^{n-1}+\underbrace{x^n}_{=x\cdot x^{n-1}})=\pink{e^x}\cdot(n\cdot{\color{brown}x^{n-1}}+x\cdot{\color{brown}x^{n-1}})$$$$f'(x)=\pink{e^x}\cdot{\color{brown}x^{n-1}}\cdot(n+x)$$