Gleichungssysteme mit dem Gauß‘schen Eliminationsverfahren

Question

Aufgabe:

Kann man mir bitte bei der Aufgabe helfen:

Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit dem Gauß‘schen Eliminationsverfahren.

Das Ergebnis habe ich aber der Rechenweg nicht:

ich weiß es nicht was man ansetzen, wenn ein x fehlt. wie viele Ebenen werde ich haben?

Ergebnis:

x1 = −1, x2 = −2, x3 = −3, x4 = −4

Problem/Ansatz:

4x1 + 3x3 = −13
x1 − x2 = 1
−2x1 + x2 + x4 = −4
x1 + x2 + x3 − x4 = −2

Answer 1

Aloha :)

Beim Lösen von Gleichungssystemen mit dem Gauß-Verfahren geht es darum, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null (am besten mit einer Eins) bestehen.

Hier ein möglicher Rechenweg zum Nachvollziehen:

$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Operation}\\\hline4 & 0 & 3 & 0 & -13 & -4\cdot\text{Zeile 2}\\1 & -1 & 0 & 0 & 1 &\\-2 & 1 & 0 & 1 & -4 &+2\cdot\text{Zeile 2}\\1 & 1 & 1 & -1 & -2 &-\text{Zeile 2}\\\hline\pink 0 & 4 & 3 & 0 & -17 &+4\cdot\text{Zeile 3}\\\pink1 & -1 & 0 & 0 & 1 &-\text{Zeile 3}\\\pink 0 & -1 & 0 & 1 & -2 &\cdot(-1)\\\pink0 & 2 & 1 & -1 & -3 & +2\cdot\text{Zeile 3}\\\hline\pink 0 & \green 0 & 3 & 4 & -25 &-3\cdot\text{Zeile 4}\\\pink1 & \green 0 & 0 & -1 & 3 &\\\pink 0 &\green 1 & 0 & -1 & 2 &\\\pink0 & \green 0 & 1 & 1 & -7 &\\\hline\pink 0 & \green 0 & \blue0 & 1 & -4 &\\\pink1 & \green 0 & \blue0 & -1 & 3 &+\text{Zeile 1}\\\pink 0 &\green 1 & \blue0 & -1 & 2 &+\text{Zeile 1}\\\pink0 & \green 0 & \blue1 & 1 & -7 &-\text{Zeile 1}\\\hline\pink 0 & \green 0 & \blue0 & \red1 & -4 &\Rightarrow x_4=-4\\\pink1 & \green 0 & \blue0 & \red0 & -1 &\Rightarrow x_1=-1\\\pink 0 &\green 1 & \blue0 & \red0 & -2 &\Rightarrow x_2=-2\\\pink0 & \green 0 & \blue1 & \red0 & -3 &\Rightarrow x_3=-3\end{array}$$

Answer 2

Stelle als erstes die erweiterte Koeffizientenmatrix Ax=b auf und bringe anschließend die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform. Die fehlenden x werden in der Matrix als Nullen geschrieben

Comments

was soll ich in der Tabelle eingeben, wenn es 4x1 + 3x3 = −13 steht

---

für die erste Zeile (4 0 3 0 | -13)

---

Wenn ich vier Zeilen in der Tabelle erstelle, bleibt die erste Zeile (E1) unverändert. In der zweiten Zeile muss der Wert von x1 auf 0 gesetzt werden.

In der dritten Zeile müssen die Werte von x1 und x2 auf 0 gesetzt werden. In der vierten Zeile (E4) müssen die Werte von x1, x2 und x3 auf 0 gesetzt werden.

Ist das so korrekt?

---

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 4 & 0 & 3 & 0 &-13\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1& 0 &1&-4 \\ 1 & 1& 1 &-1&-2 \end{array}\right)$$

Ja du bringst von dieser Matrix alles unter der Hauptdiagonalen auf 0 um die Zeilenstufenform zu erhalten

Answer 3

Zur Kontrolle:

Klassisch mit a,b,c.d, damit es übersichtlicher wird:

4a+3c= -13

a-b = 1

-2a+b+d = -4

a+b+c-d = -2

Alles kann in a ausgedrückt werden

Comments

Was soll das denn für eine Antwort sein? Hier wurde jetzt nur das LGS mit a, b, c und d abgeschrieben...