Da mir modulares Rechnen gefÀllt, hier noch ein Weg, der alle möglichen Varianten ergibt.
Es gilt \(11111= 41 \cdot 271\).
Die gegebene Zahl ist \(10^{12} + 10^0\).
Es mĂŒssen also 3 weitere verschiedene Potenzen \(10^k\) addiert werden mit \(1\leq k\leq 11\).
Also hab ich mir \( 10^k \mod 41\) angeschaut (immer rekursiv mit 10 multiplizieren - so bleibt alles ĂŒberschaubar). Und siehe da, es gilt
\(10^5 \equiv 1 \mod 41\)
Dasselbe passiert \(\mod 271\).
Damit erhalten wir die folgende Reste-Tabelle:
k
| 0,5,10
| 1,6,11
| 2,7,12
| 3,8
| 4,9
|
\(10^k\mod 41\)
| 1
| 10
| 18
| 16
| 37
|
\(10^k\mod 271\)
| 1
| 10
| 100
| 187
| 244
|
Schauen wir uns also zunÀchst die Reste \(\mod 41\) an:
\(10^{12} + 10^0 \equiv 19 \mod 41\)
Wir mĂŒssen 3 weitere Reste so addieren, dass ein Vielfaches von 41 entsteht. Aufgrund der GröĂenordnung der Reste mod 41 kommen also nur infrage:
\(41-19 = 22 \rightarrow\) geht nicht!
\(22+41 = 63 \Rightarrow \) geht! Reste: 10, 16, 37
Es ist leicht einzusehen, dass die 63 aufgrund der 3 als Einer nicht anders erzeugbar ist. Der nĂ€chste Rest wĂ€re 63+41=104 und ist schon zu groĂ, um bildbar zu sein.
Jetzt mĂŒssen wir nur noch prĂŒfen, ob die zugehörigen Reste mod 271 passen:
\(100 + 1 + 10 + 187 + 244 \equiv 542 \equiv 2\cdot 271\equiv 0 \mod 271\)
Bingo!
Damit ergibt sich die Lösung zu
\(10^{12}+ 10^{k_1} + 10^{k_2}+10^{k_3} + 1\) mit
\(k_1 \in\{1,6,11\},\:k_2 \in\{3,8\},\:k_3 \in\{4,9\}\)
Das sind genau \(3\cdot 2\cdot 2=12\) Möglichkeiten.
