Welche der folgenden DGL ist exakt?

Question

Aufgabe: Welche der folgenden DGL ist exakt ?

Problem/Ansatz: Wie genau ist man hier vorgegangen, um die richtige Antwort zu finden.

Text erkannt:

(a) Welche der folgenden Differentialgleichungen ist exakt (für \( x \in \mathbb{R} \) )?
\( \begin{array}{ll} \square x^{2}+x^{3} u(x) u^{\prime}(x)=1 & \square(u(x))^{2}+(u(x))^{3} u^{\prime}(x)=0 \\ \square x^{2}(u(x))^{3}+x^{3}(u(x))^{2} u^{\prime}(x)=0 & \square x^{2} u(x)-x^{3} u(x) u^{\prime}(x)=0 . \end{array} \)

Answer 1

Hallo,

1. Aufgabe ist keine exakte DGL

\( x^{2}+x^{3} u(x) u^{\prime}(x)=1 \)
1) \( u^{\prime}(x)=\frac{d u}{d x} \)

\( x^{2}+x^{3} \quad u(x) \cdot \frac{d u}{d x}=1 \)
2) alles auf eine Seite bringen,so das rechts \( =0 \) steht
\( x^{2}+x^{3} u(x) \frac{d u}{d x}-1=0 \)
3) mit \( d x \) multiplizieren
\( \begin{array}{l} x^{2} d x+x^{3} u(x)d u-d x=0 \\ \left(x^{2}-1\right) d x+x^{3} u(x) d u=0 \end{array} \)
4)
\( \begin{array}{l} P=x^{2}-1 \\ Q=x^{3} u(x) \end{array} \)
5)
\( \begin{array}{l} P_{u}=0 \\ Q_{x}=3 x^{2} u \end{array} \)
6) \( P_{u} \neq Q_{x} \Rightarrow \) nicht exakt

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Danke sehr! :)

Answer 2

Ein Weg ist der folgende:

Schritt 1 - Schreibe die DGL in Differentialform

\(P\,dx + Q\, du = 0 \Rightarrow x^2u^3\, dx + x^3u^2\, du = 0\)

Damit ist also

\(P(x,u) = x^2u^3\) und \(Q(x,u)= x^3u^2\)

Schritt 2 - Überprüfe die Exaktheitsbedingung

\(\frac{\partial P}{\partial u} \stackrel{!}{=}\frac{\partial Q}{\partial x} \)

Daher,

\(\frac{\partial P}{\partial u} = 3x^2u^2 \)

\(\frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2u^2 \)

Ergebnis:

Damit gilt \(\frac{\partial P}{\partial u} = \frac{\partial Q}{\partial x} \). Die DGL ist somit exakt.

Die anderen Gleichungen kannst du gern zum Üben selber nachrechnen.

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Danke sehr! :)