Hallo, ich muss hier mit Matrizen arbeiten und tu mich da schwer. Kann mir da wer seinen Rechenweg erklären? Wäre sehr nett!
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8. Seien \( \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \cong \mathbb{R}^{2 n} \) und \( \mathbb{R}^{m} \) versehen mit der euklidischen Metrik.
Zeigen Sie: Ist \( A \) eine \( m \times n \)-Matrix, so ist die lineare Abbildung \( \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, x \mapsto \) \( A x \) (hier betrachte man \( x \) als 'stehenden' und nicht als 'liegenden' Vektor) stetig. Man zeige auch, dass \( \left(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{n},(x, y) \mapsto x+y \) und \( \left(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{n},(\lambda, x) \mapsto \) \( \lambda x \) (skalare Multiplikation) stetig sind.
