Wie kann man Gewinnschwellen berechnen?

Question

Aufgabe:

Ich bräuchte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe, vielleicht könnte jemand mir hier helfen.

Gegeben sei folgende Gewinnfunktion:

G(x)= 4x - Wurzel von (13600-4x² ) -140

wobei

x= Absatzmenge in Stück

C= Gewinn in 1.000€

Bitte berechnen Sie die Gewinnschwelle(n).

Ich weiß leider garnicht wie so etwas geht

Comments

Gewinnschwelle: G(x) = 0

Answer 1

Finde die Nullstellen der Gewinnfunktion.

Comments

ich rechne die ganze zeit aber ich weiß nicht wie… vorallem bei der wurzel

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muss ich dann die nullstelle mal 1000 rechnen am ende?

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Lösungsweg:

4x - \( \sqrt{13600-4x^2} \) - 140 = 0               plus \( \sqrt{13600-4x^2} \)

4x - 140 = \( \sqrt{13600-4x^2} \)                    durch 4 bzw. durch \( \sqrt{16} \)

x - 35 = \( \sqrt{850-1/4 x^2} \)                       quadrieren

x² - 70x + 35² = 850 - 1/4 x²                       Summanden sortieren

5/4 x² - 70 x + 375 = 0                                Mitternachtsformel

x = 50

und die andere Lösung fällt weg weil aus der zweiten Zeile folgt, dass 4x - 140 nicht negativ sein darf.

muss ich dann die nullstelle mal 1000 rechnen am ende?

Wie kommst Du darauf?

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wieso 1/4x² ?

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weil 4 / 16 = 1 / 4

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okay ich verstehe es jtz. Nur steht in der Aufgabe das G(x) = Gewinn in 1.000€

was bringt mir die 50 dann?

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Nur steht in der Aufgabe das G(x) = Gewinn in 1.000€

Null Gewinn ist auch nulltausend Gewinn.

was bringt mir die 50 dann?

Diese Absatzmenge ist die Gewinnschwelle.

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ganz kurz ich habs davor so ausgerechnet gehabt, warum kommt bei mir noch 6 raus bzw also wie soll das jetzt gemeint sein, weil die 6 ist ja wahrscheinlich falsch nur wo liegt der Fehler?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} G(x)=4 x-\sqrt{13600-4 x^{2}}-140 \\ 0=4 x-\sqrt{13600-4 x^{2}}-140 \mid-140 \\ 140=4 x-\sqrt{13600-4 x^{2}} \quad \mid-4 x \\ -4 x+140=-\sqrt{13600-4 x^{2}} \quad \mid(-1) \\ 4 x-140=\sqrt{13600-4 x^{2}} \\ (4 x-140)^{2}=13600-4 x^{2} \\ 16 x^{2}-560 x-560 x+19600=13600-4 x^{2} \\ 16 x^{2}-1120 x+19600=13600-4 x^{2} \quad 1+4 x^{2} / 13600 \\ 20 x^{2}-1120 x+6000=0 \quad 1: 20 \\ x^{2}-56 x+300=0 \quad / p q-\text { Formel } \\ x_{1,2}=-\frac{(-56)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{(-56)}{2}\right)^{2}-300} \\ x_{1}=50 x_{2}=6\end{array} \)

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kommt bei mir noch 6 raus

Zu dieser anderen Lösung habe ich bei meinem Lösungsweg etwas geschrieben.

Dein erster Rechenschritt ist mit "minus 140" übrigens falsch notiert. Du hast plus 140 gerechnet.

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aber 6 ist doch nicht negativ? du meintest ja, dass die andere Lösung wegfällt, weil 4x-140 nicht negativ sein darf

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4 * 6 - 140 ist negativ.

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Die 6 ist eine Scheinlösung. Beachte, dass du die Gleichung quadriert hast, um die Wurzel wegzubekommen. Dabei können Scheinlösungen entstehen.

Mache also nachher die Probe welche Ergebnisse stimmen.

4·6 - √(13600 - 4·6²) - 140 = -232

Hier kommt offensichtlich nicht Null heraus und kann daher keine Lösung sein.

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vielen vielen dank

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Von Deinem anderen, redundanten Posting:

Ich würde es so interpretieren das ab 50€ meine Kosten gedeckt sind

Nein, sondern ab 50 Stück. Darum steht in der Aufgabe

x= Absatzmenge in Stück

und darum schrieb ich oben

Diese Absatzmenge ist die Gewinnschwelle.

Answer 2

Die Gewinnschwelle ist die kleinste positive Nullstelle der Gewinnfunktion. Für die Berechnung sind sicherlich Hilfsmittel zugelassen.

Comments

ich hab erstmal die nullstelle der wurzel ausgerechnet= 58,309 und -58,309

dann hab ich

4x -58,309 -140

=

4x -198,309 = 0 |+ 198,309

4x = 198,309 |:4

x = 49,577

ist da so richtig?

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Das funktioniert so aber nicht. Wenn du nur die Nullstelle der Wurzel berechnest, hast du ja schon ein konkretes \( x \). Dann kann das \(x\), was in der übrigen Gleichung vorkommt ja nicht einfach anders sein. Es ist ja dieselbe Variable.