Gesucht ist eine Zahl mit 27 Teilern die durch 3, 5 und 7 Teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine Zahl mit 27 Teilern die durch 3, 5 und 7 Teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich bin erstmal so vorgegangen die Primzahlen zu berechnen von 27

Also 3 hoch 3 nur wie gehe ich jetzt weiter vor?

Answer 1

3²·5²·7² hat (2+1)(2+1)(2+1) Teiler.

Answer 2

Hat \(n\in\mathbb{N}\) die Primfaktorzerlegung \(\prod_{i=1}^rp_i^{e_i}\), dann hat \(n\) genau \(\prod_{i=1}^r(e_i+1)\) verschiedene positive Teiler. Siehe wikipedia://Teileranzahlfunktion.

Answer 3

Und wenn die Zahl durch 3, 5 und 7 Teilbar ist, enthält sie diese

Primfaktoren und z.B. jeden 2-mal, dann wäre es \(   3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2   \)

Und das hat genau 3*3*3=27 Teiler.

siehe etwa https://adi.dzlm.de/teilbarkeit/teileranzahl-einer-zahl

Comments

Damit ich das richtig verstehen würde, was wäre denn wenn ich die Aufgabe hätte Gesucht ist eine Zahl mit 50 Teilern die durch7 und 11 Teilbar ist, würde ich da auch vorher Primzahl berechnen und nach dieser Teilbarkeitsanzahlfunktion gehen?

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50 Teiler und nur (oder könnten es auch andere sein ?) die Primfaktoren

7 und 11 würde bedeuten: Zahl \(  z=7^x \cdot 11^y  \)

und es wäre (x+1)(y+1)=50

also z.B.  x=1 und y=24 denn 2*25=50

oder  x=4 und y = 9  denn 5*10=50  etc.