Question

Zeigen Sie: die Funktion
\( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+1} \)
ist für alle reellen \( x \) definiert und erfüllt die Gleichung
\( x^{2} f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)+\left(x^{2}-1\right) f(x)=0 \)

Answer 1

Konvergenzradius erhältst du durch

\(  \lim\limits_{n \to \infty} | \frac{a_n}{a_{n+1}} | =    \lim\limits_{n \to \infty}  | \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !} \cdot \frac{(n+2) ! (n+1) !}{(-1)^{n+1}}| \)

\(  =    \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{(n+2) ! (n+1) !}{(n+1) ! n !} =    \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{n+2}{1} = \infty \)

Also ist die Funktion für alle x∈ℝ definiert.

Ableitungen bekommst du durch Ableitung der Summanden in der

Potenzreihe, also so

\( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+1} \)

==> \( f'(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n}\cdot \frac{1}{2} \)

\(= \frac{1}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n}\cdot \frac{1}{2} \)

==> \( f''(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)(2n)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n-1}\cdot \frac{1}{4} \)

Comments

Reichen die Tipps nicht ? Dann mal ausführlich:

\( x^{2} f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)+\left(x^{2}-1\right) f(x)=0 \)

Kannst du ja zeigen in der Form

 \( x^{2} f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\left(1-x^{2}\right) f(x) \)  #

Für die linke Seite gibt es beim Einsetzen zunächst mal

\( x^{2} f^{\prime \prime}(x)=x^2\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)(2n)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n-1}\cdot \frac{1}{4} \)

\(  =x^2\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(4n^2+2n)x^{2 n-1}\cdot \frac{1}{4\cdot 2^{2n-1}} \)

\(  =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! }(4n^2+2n)x^{2 n+1}\cdot \frac{1}{ 2^{2n+1}} \)

\(  =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(4n^2+2n)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} \)

und für den 2. Summanden:

\( x f^{\prime}(x)=x( \frac{1}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n}\cdot \frac{1}{2} ) \)

\(=\frac{x}{2} + x\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)x^{2 n}\cdot \frac{1}{2\cdot 2^{2n}} \)

\(=\frac{x}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)x^{2 n+1}\cdot \frac{1}{2^{2n+1}} \)

\(=\frac{x}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1}}x^{2 n+1}\)

Also gibt die linke Seite von #

\(  =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(4n^2+2n)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} +\frac{x}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1}}x^{2 n+1}\)

\(  =\frac{x}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(4n^2+4n+1)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1}}x^{2 n+1}\)

Und die rechte Seite von # gibt

\( \left(1-x^{2}\right) f(x) = \left(1-x^{2}\right) \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+1} \)

\( = \left(1-x^{2}\right) \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} \)

\( = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} -x^2 \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} \)

\( = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} - \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+3} \)

Bei der 1. Summe den 1. Summanden extra schreiben und bei der

2. eine Indexverschiebung gibt

\( =\frac{x}{2}+ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} - \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n! (n-1) !  2^{2n-1} }x^{2 n+1} \)

\( =\frac{x}{2}+ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} +\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}4n(n+1)}{n! (n+1) ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} \)

\( =\frac{x}{2} +\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(1+4n(n+1))}{n! (n+1) ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} \)

\( =\frac{x}{2} +\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(1+4n^2+4n)}{n! (n+1) ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} \)

Also in der Tat_  Beide Seiten gleich. q.e.d.

Answer 2

Hallo

für alle x definiert heisst der Konvergenzradius ist unendlich,

den 2 ten Teil einfach ausrechnen, also f' und f'' bestimmen  und einsetzen.