Ist der einzige Weg dafür die Polynom-Division?

Question

Aufgabe: Nullstellen finden von f(x) = 3x³ − 6x² − 3x + 6.

Problem/Ansatz:

Ich setze die Gleichung = 0, da es eine kubische Funktion ist, sind die pq- und die abc-Formel nicht anwendbar.

Ist der einzige Weg dafür die Polynom-Division?

Danke

Comments

Manchmal (aber nicht immer) hilft auch geschicktes Ausklammern:
\(\begin{aligned}3x^3−6x^2−3x+6&=3\big(x^3−2x^2−x+2\big)=3\big(x^2(x-2)-(x-2)\big)\\&=3(x-2)(x^2-1)=3(x-2)(x-1)(x+1).\end{aligned}\)

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Da die Summe der Koeffizienten gleich Null ist, ist x=1 eine Lösung.

Mir fallen drei Wege zum weiteren Vorgehen ein.

1. Polynomdivision

2. Horner-Schema

3. (x-1) ausklammern.

0 = 3x^3 − 6x^2 − 3x + 6

=3x³-3x²  -3x²+3x -6x+6

=3x²(x-1) -3x(x-1) -6(x-1)

=(3x²-3x-6)(x-1)

usw.

Answer 1

Es gäbe noch diese Formel:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/cardanische-formel

Answer 2

Aloha ;)

Klammere die Zahl vor der höchsten Potenz von \(x\) aus:$$f(x)=3\cdot\left(x^3-2x^2-x+\pink{2}\right)$$

Alle ganzzahligen Nullstellen des Polynoms müssen nun die Zahl ohne \(x\), also die \(\pink2\) ohne Rest teilen. Die Teiler von \(\pink2\) sind \(\pm1\) und \(\pm2\).

Wir setzen diese 4 Kandidaten für Nullstellen ein und finden Nullstellen bei:$$x=-1\quad;\quad x=1\quad;\quad x=2$$Da ein Polynom 3-ten Grades höchstens 3 Nullstellen haben kann, sind das alle.

Comments

Können Sie mir sagen, warum das in diesem Fall so einfach ist?

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Solche Aufgaben werden extra so gemacht, dass du einem bestimmen Lösungsschema folgen kannst.

1) Man kann eine Lösung \(x=a\) "erraten".

2) Man dividiert duch den Linearfaktor \((x-a)\).

3 Übrig bleibt ein Polynom 2-ten Grades, auf das man die pq-Formel anwendet.

Mit dem Verfahren aus meiner Antwort fundest du alle ganzzahligen Nullstellen sehr schnell. Da ist dann meistens diejenige dabei, die "erraten" werden soll. Hier hatten wir ein bisschen Glück, dass die beiden anderen Nullstellen (die sonst mit der pq-Formel berechnet werden) auch ganzzahlig waren.

Answer 3

Ich würde sagen, dass es der einfachste Weg ist hier

Answer 4

Ist der einzige Weg dafür die Polynom-Division?

Bei dieser Aufgabe ist es so. Es gibt aber kubische Funktionen, wo eine Nullstelle ein Extremwert ist. Da müsstest du dann die Funktion ableiten, um den Extremwert zu bestimmen.

Comments

Es sei:

 \(f(x)=x^3-3x+2\)

\(f'(x)=3x^2-3\)

\(3x^2-3=0\)

\(x_1=1\)    → \(f(1)=1^3-3+2=0\)

Somit ist hier ein Extremwert (doppelte Nullstelle)

\(x_2=-1\)    → \(f(-1)=(-1)^3+3+2=-2\) 

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Bei dieser Aufgabe ist es so.

Gerade bei dieser Aufgabe ist es nicht so.

Answer 5

Wenn du den Funktionsterm siehst, bemerkt man das sich die Koeffizienten bis auf ein Minuszeichen wiederholen

f(x) = 3·x^3 - 6·x^2 - 3·x + 6

Man kann daher x^2  und -1 ausklammern

f(x) = x^2·(3·x - 6) - 1·(3·x - 6)

f(x) = (x^2 - 1)·(3·x - 6)

x^2 - 1 faktorisiert man gemäß dritten binomischer Formel.

f(x) = (x + 1)·(x - 1)·(3·x - 6)

Ich erspare uns mal aus der letzten Klammer noch den Faktor 3 herauszuziehen. Das kannst du aber gerne auch noch machen.

Die Nullstellen liegen ablesbar bei x = -1 ; x = 1 ; x = 2

Comments

x^2 - 1 faktorisiert man gemäß erster binomischer Formel.

Nein.

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Natürlich mit der dritten wie gemacht. Danke.

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Abgesehen davon würde ich wohl beim teilweisen Ausklammern \(3x\) und \(-6\) bevorzugen, um dann \((x^2-1)\) ausklammern zu können. Aber das kann natürlich jeder so machen wie er will.

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Man kann daher x² und -1 ausklammern

Wurde diese Methode nicht bereits oben im Kommentar direkt unter der Frage vorgeschlagen?