Bestimmen Sie die folgenden Mengen...?

Question

Für eine komplexe Zahl \( z \) bezeichne \( \bar{z} \) das komplex konjugierte. Bestimmen Sie die folgenden Mengen:
\( \{z-\bar{z}: z \in \mathbb{C}\}, \quad\{z \bar{z}: z \in \mathbb{C}\}, \quad\left\{\frac{z}{|z|}: z \in \mathbb{C}\right\} . \)

Answer 1

Rechne doch mal nach: \(z-\overline{z}=a+b\mathrm{i}-(a-b\mathrm{i})=2b\mathrm{i}\) mit \(b\in\mathbb{R}\). Was ist das also für eine Menge? Der Rest analog.

Comments

a) (a+bi)-(a-bi) = 2bi

b) (a+bi)*(a-bi) = a^2+ b^2
Ich habe auch eine Definition entdeck wo \(z*\bar{z}\) = |z|^2 ist heißt:
\( \sqrt{a^2+(bi)^2} \) = a^2-b^2 ? Widerspruch?

c) \( \frac{a+bi}{\sqrt{a^2+(bi)^2}} \) = a+bi weil man in der Wurzel die ^2 rausschreiben kann und wurzel^2 kann man weglassen

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Bevor Du gleich die Lösung abschreibst, solltest Du unbedingt klären:

- Die Definition des Betrags bei komplexen Zahlen

- "weil man in der Wurzel die ^2 rausschreiben kann" Vergleiche dazu \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) mit \(3+4\)

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"weil man in der Wurzel die ^2 rausschreiben kann"  okay, das stimmt nicht.

def. von |z| = \(\sqrt{a^2+b^2}\)

heißt bei b):

habe ich dann nicht trotzdem einen Widerspruch weil nachgerechnet ist es ja a^2+b^2

aber: |z|^2 = \(\sqrt{a^2+b^2}^2 = \sqrt{(a+b)^4}\)

c:) \(\frac{a+bi}{\sqrt{a^2+b^2}^2}\)

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\(\sqrt{a^2+b^2}^2 = \sqrt{(a+b)^4}\) ist halt einfach falsch. Prüfe sowas doch mal mit eingesetzten Zahlen.

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oh ja.

Ich habe das mit dem Wurzelkriterium verwechselt wo ja die nte Wurzel von 3^n = 3