Lineare Abbildung von Matrizen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 2: Weiter sei die lineare Abbildung \( \alpha: \mathrm{Pol}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch
\( p \mapsto\left(\begin{array}{c} -2 p(0) \\ p^{\prime}(0)-p(2) \\ p^{\prime \prime}(1)+2 p^{\prime}(3) \end{array}\right) . \)

Dabei bezeichnen \( p^{\prime} \) bzw. \( p^{\prime \prime} \) die erste bzw. die zweite Ableitung von \( p \).
Bestimmen Sie die beschreibende Matrix
\( E \alpha_{P}=(-\cdots) \)

Hallo, ich muss diese Online Aufgabe für eine Abgabe lösen, doch ich weiß nicht wie.

Answer 1

In den Spalten der zugehörigen Matrix stehen stets die Bilder der Basisvektoren, also z.B. in der ersten Spalte \(\alpha(p_1)=\alpha(x^2+2)\).

Einsetzen, ausrechnen, in die Spalten schreiben, fertig.

Comments

Man muss die Bilder in der Basis P darstellen!

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Nein, die Bilder sind in E darzustellen, geht auch nicht anders, sind ja Vektoren aus \(\R^3\).

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Ach na klar... Alles gut.

Answer 2

Aloha ;)

Die Abbildungsvorschrift lautet:$$(a+bx+cx^2)\mapsto\begin{pmatrix}-2(a+bx+cx^2)_{x=0}\\(b+2cx)_{x=0}-(a+bx+cx^2)_{x=2}\\(2c)_{x=1}+2(b+2cx)_{x=3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2a\\-a-b-4c\\2b+14c\end{pmatrix}$$

Wir setzen die Basis-Polynome aus \(P\) ein:$$(2+0\cdot x+1\cdot x^2)\mapsto\begin{pmatrix}-4\\-6\\14\end{pmatrix}$$$$(0-2\cdot x+0\cdot x^2)\mapsto\begin{pmatrix}0\\2\\-4\end{pmatrix}$$$$(2+0\cdot x+0\cdot x^2)\mapsto\begin{pmatrix}-4\\-2\\0\end{pmatrix}$$

Die Darstellungsmatrix enhält die Bilder der Basis-Polynome als Spalten:$${_E}{\mathbf A}_P=\left(\begin{array}{rrr}-4 & 0 & -4\\-6 & 2 & -2\\14 & -4 & 0\end{array}\right)$$