Matrixaufgabe, allgemeine Lösung Gleichungssysteme

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 1:
Gegeben seien die Matrix \( M=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & -3 & 2 & 1\end{array}\right) \) und \( b=\left(\begin{array}{l}6 \\ 6 \\ 5\end{array}\right) \).
Geben Sie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems \( M x=b \) an:
\( x=\left(\begin{array}{l} 1 \\ \square \end{array}\right)+\lambda(\lambda \in \mathbb{R} \)

Hallo Zusammen, muss diese Aufgabe lösen, weiß aber nicht wie.

Answer 1

Erweiterte Koeffizientenmatrix, Zeilenstufenform mit Gauß. Eine Variable frei wählen. Dazu gibt es Beispiele zu Hauf im Netz. Warum nutzt man diese Hilfsmittel nicht und will sich das lieber von jemandem lösen lassen? Zumal es Rechner für Gleichungssysteme auch zu Hauf gibt.

Answer 2

Aloha :)

Unser Ziel bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen:

$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -1 & 1 & -2 & 6 &-2\cdot\text{Zeile 2}\\1 & 1 & 1 & -5 & 6 &\\1 & -3 & 2 & 1 & 5 &-\text{Zeile 2}\\\hline0 & -3 & -1 & 8 & -6 &-\text{Zeile 3}\\1 & 1 & 1 & -5 & 6 &\\0 & -4 & 1 & 6 & -1\\\hline0 & 1 & -2 & 2 & -5 &\\1 & 1 & 1 & -5 & 6 &-\text{Zeile 1}\\0 & -4 & 1 & 6 & -1 & +4\cdot\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & -2 & 2 & -5 &\\1 & 0 & 3 & -7 & 11 & \\0 & 0 & -7 & 14 & -21 &\div(-7)\\\hline0 & 1 & -2 & 2 & -5 &+2\cdot\text{Zeile 3}\\1 & 0 & 3 & -7 & 11 & -3\cdot\text{Zeile 3} \\0 & 0 & 1 & -2 & 3 &\\\hline0 & \pink1 & 0 & -2 & 1 & \Rightarrow \pink{x_2}-2x_4=1\\\pink1 & 0 & 0 & -1 & 2 &\Rightarrow\pink{x_1}-x_4=2\\0 & 0 & \pink1 & -2 & 3 &\Rightarrow\pink{x_3}-2x_4=3\end{array}$$

Wir stellen die erhaltenen Gleichungen nach den pinken "Einser-Variablen" um:$$\pink{x_1}=2+x_4\quad;\quad \pink{x_2}=1+2x_4\quad;\quad \pink{x_3}=3+2x_4$$und geben alle Lösungen des Gleichungssystems an:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\\pink{x_2}\\\pink{x_3}\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+x_4\\1+2x_4\\3+2x_4\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}1\\2\\2\\1\end{pmatrix}$$

Da \(x_4\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, kannst du es auch durch jede beliebige andere reelle Zahl ersetzen, etwa durch \(\lambda\in\mathbb R\). Aber das ist nur Kosmetik.