Zwischenwertsatz und Intervalle

Question

Aufgabe:

Nutzen Sie den Zwischenwertsatz um folgende Aussage zu beweisen.

Ist f : R → R stetig und (a, b) ein Intervall, so ist das Bild f((a, b)) ebenfalls
ein Intervall.

Hey Leute,

ich habe irgendwie einen Knoten im Kopf und komme nicht darauf wo der Zusammenhang liegt.

Über Tipps wäre ich dankbar.

LG Syntax

Answer 1

ZWS: \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) stetig und \(f(a)<c<f(b)\) für ein \(c\in (f(a);f(b))\), dann gibt es \(x\in (a,b)\) mit \(f(x)=c\).

Es wird aufgrund der Stetigkeit also jeder Wert im Intervall \((f(a);f(b))\) angenommen. Also ist das Bild von \(f\), eingeschränkt auf \((a,b)\), ein Intervall.

Comments

Und wenn es nun Bildpunkte außerhalb von (f(a),f(b)) gibt?