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A1 Erweitertes Epidemie Modell
8 Punkte
In der Vorlesung wurde folgende Differentialgleichung zur Beschreibung der Ausbreitung von Infektionskrankheiten eingeführt:
\( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\gamma y(1-y), \)
wobei \( y \) den Anteil der Infizierten an der Gesamtbevölkerung darstellt und \( \gamma \) die Infektionsrate. Dieses einfache Modell geht davon aus, dass Personen, welche sich einmal infiziert haben, fortan permanent infiziert bleiben. Als eine Erweiterung des Modells lässt sich daher ein Parameter \( \delta \) einführen, der die Rate darstellt, mit welcher infizierte Personen sich wieder von der Krankheit erholen.
1. Wie muss die gegebene Differentialgleichung modifiziert werden, um diesen Heilungsprozess mit einer konstanten Rate \( \delta \) darzustellen? Geben Sie die neue Differentialgleichung an.
2. Lösen Sie die modifizierte Differentialgleichung mittels Trennung der Variablen, analog zur Lösung der ursprünglichen DGL in der Vorlesung. Nutzen Sie dazu folgende Relation:
\( \int \frac{\mathrm{d} x}{(a x+b)(c x+d)}=-\frac{1}{b c-a d} \ln \left|\frac{a x+b}{c x+d}\right|+\text { const. } \)
3. Im ursprünglichen Modell konvergiert die Lösung für alle Anfangswerte \( y_{0} \neq 0 \) gegen den Wert \( y_{\infty}=1 \). Dieser ist ein sogenannter Fixpunkt, da für ihn gilt, dass die Ableitung \( \mathrm{d} y / \mathrm{d} t \) laut der ursprünglichen Differentialgleichung null wird und sich somit \( y \) nicht mehr verändert, also fix ist.
Ist dies im modifizierten Modell immer noch der Fall oder welcher Wert \( y_{\mathrm{f}} \) erfüllt nun diese Bedingung (abseits der trivialen Lösung \( y=0 \) )? Wie verändert sich damit das Grenzverhalten der Lösung \( y(t) \) für \( t \rightarrow \infty \) wenn man die Heilung miteinbezieht?
4. Wir wollen nun die Auswirkungen von Maßnahmen zur Eindämmung der Epidemie in unserem Modell untersuchen. Hierzu nehmen wir an, dass Maßnahmen wie z.B. das Tragen von Masken oder Impfungen die Infektionsrate \( \gamma \) verringern, die Heilungsrate \( \delta \) allerdings unverändert lassen.
Betrachten wir hierzu also zwei Szenarien, eines in dem keine Maßnahmen zur Eindämmung getroffen werden und eines in dem diese stattfinden.
a) Die Infektionsrate ohne Maßnahmen sei \( \gamma=0.6 \) und die Heilungsrate \( \delta=0.2 \). Welcher Wert für \( y_{\mathrm{f}} \) ergibt sich damit?
b) Die Infektionsrate mit Maßnahmen sei \( \gamma=0.3 \) und die Heilungsrate unverändert \( \delta=0.2 \). Welcher Wert für \( y_{\mathrm{f}} \) ergibt in diesem Fall?
c) Was sagt der Vergleich der Werte \( y_{\mathrm{f}} \) über die maximale Anzahl an gleichzeitig infizierten in beiden Szenarien aus?
Problem/Ansatz:
In Aufgabe 1 habe ich folgende Differentialgleichung aufgestellt:
dy/dt =γy(1-y)-δy
Ich denke mal das ist so schonmal richtig
Jedoch hakt es dann ab Teilaufgabe 2: Ich bekomme die Differentialgleichung einfach nicht mit Trennung der Variablen und der gegeben Relation gelöst kann mir da jemand bei helfen, bitte?
Zu 3. habe ich mir schon überlegt, dass der Grenzwert nicht mehr 1 ist, sondern von δ undγ abhängig ist. Aber wie genau wird das sein?
zu 4. da muss ich doch nachher dann einfach in meine Lösung von 3 die gegebenen Werte einsetzten und dann die Resultate vergleichen oder?
