Vektorräume und Dualräume

Question

Aufgabe:

Seien V, W Vektorräume über K und U ein Unterraum von V . Zeigen Sie:
a) S := {v^∗ ∈ V^∗ : U ⊆ ker v^∗} ist ein Unterraum von V^∗.
b) Wenn v ∈ V so ist, dass für alle v^∗ ∈ V^∗ gilt v^∗(v) = 0, dann gilt v = 0.
c) Ist h ∈ Hom(V, W ) injektiv, so gilt ∀ v^∗ ∈ V^∗ ∃ w^∗ ∈ W^∗ : v^∗ = w^∗ ◦ h.

Problem/Ansatz:

Bei a) verstehe ich schon nicht, warum v* einen Kern haben kann, warum ist das eine Funktion und kein Vektor? Und auch sonst verstehe ich nicht, welche Elemente zu S gehören sollen. Nur die, die auch in U sind?

Und zu b) und c): wie schaut die Funktion v* dann aus? Wie kann ich mir die vorstellen?

Answer 1

V* ist der Raum der Linearformen von V nach K.

Das sind lineare Abbildungen von V nach K.

Zur Interpretation von S := {v∗ ∈ V∗ : U ⊆ ker v∗}

kannst du dir also lineare Abbildungen von V nach K

vorstellen, in deren Kern der Unterraum U liegt.

Also für alle u∈U gilt v*(u)=0 .

Wenn du also 2 solche Linearformen v* und w* hast

und es gilt für alle u∈U  v*(u)=0  und w*(u) = 0

Dann gilt das auch für die Summe dieser Abbildungen

denn (v*+w*)(u) = v*(u)+w*(u) = 0 + 0 = 0.

Also ist S abgeschlossen bzgl. +    .

Vielleicht hilft das ja schon.

Answer 2

Zur Definition von \(V^*\): Die Elemente dieses Vektorraums sind alle \(K\)-linearen Funktionen \(V\to K\). Die Elemente sind also Funktionen, das ist trotzdem ein Vektorraum (Das wurde bestimmt schon in der VL gemacht oder kannst du selbst einmal nachrechnen). Elemente eines Vektorraums nennt man Vektoren, kannst du hier also auch machen. Im Kontext würde ich allerdings "Dualvektoren"/"Covektoren" oder ähnliches sagen. Und da diese Covektoren als Definitionsbereich \(V\) haben, kann man auch über ihren Kern reden.

Zur a): Wenn \(v^*,w^*:V\to K\) Covektoren sind, die \(U\) im Kern haben, haben dann \(\lambda\cdot v^*,v^*+w^*\) auch \(U\) im Kern? Hat die Nullabbildung \(0^*\) den Unterraum \(U\) im Kern?

Zur b): Nimm dir mal eine Basis \(b_1,b_2,\ldots\) von \(V\) und sei \(v=\sum\limits_{i}c_ib_i\) eine Darstellung von \(v\). Jetzt schauen wir uns die Covektoren \(b_i^*\) an, definiert mit der Eigenschaft, dass \(b_i^*(b_i)=1\) und für alle anderen Basisvektoren gilt \(b_i^*(b_j)=0\). Zur Erinnerung: Eine Lineare Abbildung ist eindeutig definiert durch die Wahl von Funktionswerten auf einer beliebigen Basis ("Lineare Fortsetzung"), diese Dinger dürfen wir also so definieren. Mach dir mal klar mit einer Rechnung (obige Darstellung einsetzen), dass \(b_i^*(v)=c_i\) gelten muss. Wenn jetzt also dein \(v\) die in der Aufgabenstellung geforderte Eigenschaft hat, also auch alle \(b_i^*(v)=0\) sind, was folgt dann für \(v\)?

c) Du möchtest hier also einen "Umweg" über \(W\) machen mit deiner Abbildung. Du musst dir dein \(w^*\) definieren und jetzt die goldene Frage: Wo möchtest du denn ein \(w=h(x)\in W\) hinschicken? Natürlich auf \(v^*(x)\)! Sonst kann die oben geforderte Gleichung ja gar nicht gelten! Zwei Dinge: Wieso darf ich das (hier ist die Injektivität wichtig!)? Und: Wo schicke ich Vektoren in \(W\) hin, die nicht von \(h\) getroffen werden? (Tipp: Ist das eigentlich wichtig?)

Comments

Danke, das hat mir sehr geholfen! a) und b) habe ich schon gut verstanden, nur bei c) hänge ich noch. Wie kann die Injektivität mir da weiterhelfen? Und ist es auch wichtig, dass v* wie h^T oder hat das damit gar nichts zu tun?