Bestimmen Sie die unbekannte Koordinate x so, dass die beiden Vektoren \vec{c} und d normal aufeinander stehen!

Question

Aufgabe 4

Gegeben sind vier Vektoren
$\vec{a}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right)$
$\vec{b}=\left(\begin{array}{l}x \\ 0\end{array}\right), x \in R$
$\vec{c}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)$

$\vec{d} = \vec{a}-\vec{b}$
Bestimmen Sie die unbekannte Koordinate $x$ so, dass die beiden Vektoren $\vec{c}$ und $\vec{d}$ normal aufeinander stehen!

Könnte mir jemand bitte erklären wie man auf das Ergebnis -4 kommt? bei der Aufgabe 4

Answer 1

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Damit die Vektoren normal (oder orthogonal) aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt 0 ergeben. Das liefert dir eine Gleichung für $x$, die die angegebene Lösung hat.

Comments

Welcher beiden vektoren?

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Die, die normal aufeinander stehen sollen, welche sonst? Bisschen Mitdenken schadet nicht.

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Ich kann ja den Skalar produkt nicht berechnen da d nicht gegeben ist.

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Natürlich ist d gegeben. Rechne es halt aus. Nochmal: MITDENKEN.

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Ich komme da nicht weiter

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d=a-b kannst du aber schon berechnen? Und ja, da kommt x drin vor. Und das Skalarprodukt von c und d kannst du dann auch berechnen? Und ja, da kommt auch x drin vor.

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ich weiß nicht wie ich d berechnen soll weil da eben ein x ist.

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Und? $2-x$ ist $2-x$. Du solltest nochmal das grundlegende Rechnen mit Termen (Klasse 7/8) wiederholen.

Answer 2

Hallo Peter,

ich weiß nicht wie ich d berechnen soll weil da eben ein x ist.

störe Dich nicht an dem $x$. Das geht schon. Du weißt, dass$$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$$sein soll. Ferner ist $$\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}, \quad \vec{b}=\begin{pmatrix}x\\ 0\end{pmatrix}$$Du weißt sicher auch, wie man zwei Vektoren addiert und subtrahiert. Dies geschieht durch koordinatenweise Addition bzw. Subtraktion. Genauso hier:$$\begin{aligned}\vec{d} &= \vec{a} - \vec{b}\\ &= \begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}x\\ 0\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}2-x\\ 3-0\end{pmatrix} \\ \vec{d} &= \begin{pmatrix}2-x\\ 3\end{pmatrix}\end{aligned}$$damit hast Du den Vektor $\vec{d}$.

Zwei Vektoren stehen senkrecht auf einander, wenn ihr Skalarprodukt =0 ist.

Also bilde das Skalarprodukt von $\vec{c}$ und $\vec{d}$. Das Skalarprodukt erhält man, indem man die Koordinaten der beiden Vektoren paarweise multipliziert und anschließend die Produkte addiert. Allgemein sieht das so aus:$$\vec{u}\cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}{\color{red}v_x}\\ {\color{red}v_y}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{\color{blue}u_x}\\ {\color{blue}u_y}\end{pmatrix} = {\color{red}v_x}\cdot {\color{blue}u_x} + {\color{red}v_y} \cdot {\color{blue}u_y}$$in unserem konkreten Fall also:$$\vec{c}\cdot \vec{d} = \begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2-x\\ 3\end{pmatrix} = 1\cdot(2-x) + (-2) \cdot 3 = -x-4$$... und damit diese beiden Vektoren senkrecht auf einander stehen, muss das Skalarprodukt =0 sein. Also berechne den Wert für $x$ für den $-x-4=0$ gilt.

Schaffst Du sicher ;-)

Gruß Werner

Comments

Danke für die Antwort. Ich würde gerne die Vorgehensweise wissen wie man das ausrechnet. Kenne mich da nicht aus

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Hinweis: bei Aufgaben mit Vektoren lohnt es sich IMMER eine Skizze zu machen. So auch hier:

und wenn dort ein $x$ oder sonstige Unbekannte vorkommt, dann nimmst Du irgendeinen Wert an; z.B. x=1,2,3, viele. Oder besser mehrere Werte und beobachte, was bei der Änderung des jeweiligen Wertes mit Deiner Skizze geschieht.

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ich melde mich später nochmal. muss jetzt weg

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ich habe meine Antwort vervollständigt.