Mengenlehre - Teilmengen berechnen/beweisen

Question

Aufgabe:

Mengenlehre - Teilmengen anhand von Eigenschafteen berechnen bzw. gewisse Eigenschaften beweisen

Problem/Ansatz:

ich bereite mich gerade auf die Matheklausur für mein Studium in Wirtschaftsinformatik vor und verstehe diesen Aufgabentyp zur Mengenlehre nicht. Anhand der Lösung des Profs kann ich mir die Herangehensweise nicht herleiten und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann

Text erkannt:

Aufgabe 2.1 (10 Punkte):
Gegeben ist eine Menge \( M \) mit 100 Elementen, d.h. \( |M|=100 \). Hierin sind \( A, B, C \) Teilmengen mit folgenden Eigenschaften:
\( |A|=35,|B|=25,|A \cap B|=15,|A \cap C|=25 \)
\( |B \cap C|=10,|A \cap B \cap C=5|,|M-(A \cup B \cup C)|=40 \).
\( x=100- \)
\( \left.\begin{array}{c} (40+10+5+ \\ 20+5+5 \end{array}\right) \)
\( =100-85=15 \)

Text erkannt:

Aufgabe 2.1 (10 Punkte):
Gegeben ist eine Menge \( M \) mit 100 Elementen, d.h. \( |M|=100 \). Hierin sind \( A, B, C \) Teilmengen mit folgenden Eigenschaften:
\( \begin{aligned} |A|= & 50,|B|=10,|C|=10,|A \cap B|=35,|A \cap C|=35, \\ & |A \cap B \cap C|=30,|M-(A \cup B \cup C)|=10 . \end{aligned} \)

Begriunden Sie, warum unter diesen Voraussetzungen
\( (B \cap C)-A=\emptyset \)
sein muss.

 --> Zur zweiteen Aufgabe gibt es keine offizielle Lösung vom Prof.

Beste Grüsse

Elias

Text erkannt:

Gegeben ist eine Menge \( M \) mit 100 Elementen, d.h. \( |M|=100 \). Hierin sind \( A, B, C \) Teilmengen mit folgenden Eigenschaften:
\( \begin{array}{c} |A|=35,|B|=25,|A \cap B|=15,|A \cap C|=25, \\ |B \cap C|=10,|A \cap B \cap C=5|,|M-(A \cup B \cup C)|=10 . \end{array} \)

Berechnen Sie \( |C| \).

Answer 1

Zu der 2. Aufgabe machst du am besten ein ähnliches Bild

wie bei der ersten und gehst die Informationen durch:

Beginne mit der Information |A∩B∩C|=30 und trage da,

wo A,B,C sich alle drei überschneiden die 30 ein.

Bei der 1. Aufgabe stand dort eine 5.

Dann betrachte |A∩B|=35, also oberhalb der 30

(wo bei deinem Prof. eine 10 stand) hast du jetzt eine 5.

Denn dieses Feld muss ja zusammen mit der 30 den

Wert 35 ergeben.

Entsprechend führt |A∩C|=35 auf eine im Feld links

von der 30 (wo bei der ersten 20 stand) auch auf 5.

Aus |A| = 50 folgt nun, dass in dem Feld wo A sich nicht

mit den anderen überschneidet (bei 1. stand dort 0)

hier eine 10 steht, der die bisher ausgefüllten

Felder liegen ja alle in A und ergeben zusammen

schon 40, also sind noch 10 in diesem Bereich, dass es

zusammen 50 in A ergibt.

Die Information |M-  A∩B∩C | = 40 besagt

dass es 40 gibt, die in keiner der 3 Mengen A,B,C liegen

( bei der ersten Aufgabe war das die grüne 40) .

Wegen |M|=100 müssen i Bereich der drei

blauen Kringel also  jetzt 60 liegen.

Davon haben wir  mit den bisherigen

Überlegungen  schon 50 zugeordnet.

Also bleiben für die letzten 3 freien

Felder noch 10 Stück. In dem mittleren der 3

Felder ( Und das ist ja das Feld für  (B∩C) - A )

kann allerdings kein Element liegen, denn

das würde ja bei C und bei B mitgezählt.

Also gilt (B∩C) - A = ∅.

Comments

Super!

Danke für deine tolle und schnelle Antwort.

Jetzt habe ich es verstanden und es macht absolut Sinn!!

Grüße