Aussagen zu Teilbarkeiten

Question

Aufgabe:

Sei zu der natürlichen Zahl n die Relation

T_n:={(aIb)∈ℤxℤ: n teilt a-b}

auf der Menge der ganzen Zahlen gegeben.

Die Äquivalenzklasse der ganzen Zahl a bezüglich T_n wird mit [a]_n bezeichnet.

Die Quotientenmenge Z/T_n wird mit der Addition [a]_n+[b]_n := [a+b]_n und der Multiplikation [a]_n · [b]_n := [a · b]_n versehen.

Welche der folgenden Aussagen zu T_n und der Quotientenmenge Z/T_n sind wahr, welche sind falsch?

1.Die Relation T_n ist eine Äquivalenzrelation genau dann, wenn n>0 gilt.

2. Die angegebene Addition von Äquivalenzklassen ist wohldefiniert für alle n>0, die Multiplikation aber nicht.

3. Die Addition auf Z/T_n besitzt [1]_n als neutrales Element für alle n>0.

4. Die Multiplikation auf Z/T_n besitzt [0]_n als neutrales Element für alle n, für die die Multiplikation wohldefiniert ist.

5. Die Multiplikation auf Z/T₁₂ ist eine Gruppenstruktur.

Comments

Die gegebene Äquivalenzrelation ist die Kongruenz modulo \(n\).

Answer 1

Ich meine, dass es in der Reihenfolge 1 bis 5 so ist:

w f f  f  f .

Comments

Was wäre denn bei Aussage 2 an der Multiplikation nicht wohldefiniert?

Was ist denn bei Aussage 5 das Inverse von \([0]_n\)?

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Oha, hätte ich wohl was aufmerksamer lesen müssen.

Danke, ich korrigiere das.