Aufgabe:
Sei zu der natürlichen Zahl n die Relation
Tn:={(aIb)∈ℤxℤ: n teilt a-b}
auf der Menge der ganzen Zahlen gegeben.
Die Äquivalenzklasse der ganzen Zahl a bezüglich Tn wird mit [a]n bezeichnet.
Die Quotientenmenge Z/Tn wird mit der Addition [a]n+[b]n := [a+b]n und der Multiplikation [a]n · [b]n := [a · b]n versehen.
Welche der folgenden Aussagen zu Tn und der Quotientenmenge Z/Tn sind wahr, welche sind falsch?
1.Die Relation Tn ist eine Äquivalenzrelation genau dann, wenn n>0 gilt.
2. Die angegebene Addition von Äquivalenzklassen ist wohldefiniert für alle n>0, die Multiplikation aber nicht.
3. Die Addition auf Z/Tn besitzt [1]n als neutrales Element für alle n>0.
4. Die Multiplikation auf Z/Tn besitzt [0]n als neutrales Element für alle n, für die die Multiplikation wohldefiniert ist.
5. Die Multiplikation auf Z/T12 ist eine Gruppenstruktur.