Da \(r=-\frac{F}{2EI}\) ebenfalls eine Konstante ist, kannst du selbst wählen, ob du diesen Faktor mit in die Integrationskonstante "hineinstecken" möchtest oder nicht. In solchen Fällen wählt man eine Form, die praktikabel ist.
Aber rein rechnerisch passiert hier folgendes:
\(y' = r \underbrace{\int(lx-x^2)\, dx}_{= \frac l2 x^2- \frac 13 x^3 + C_1} = r\left(\frac l2 x^2- \frac 13 x^3 + C_1\right) \)
Selbstverständlich kannst du das auch so schreiben:
\(y' = = r\left(\frac l2 x^2- \frac 13 x^3\right) + C_2 \) mit \(C_2 = rC_1\)
\(C_1\) und \(C_2\) sind dann aber verschieden!