Was passiert mit der Integrationskonstante bei dieser DGL?

Question

Hallo, ich hätte eine Frage zu einer Aufgabe bezüglich der Integrationskonstante.

Ich verstehe nicht wieso die Integrationskonstante in der Lösung mit in die Klammer gezogen wird. Die Lösung ist grün markiert, mein Ansatz rot.

Text erkannt:

Die Biegegleichung eines Balkens der Länge 1, der in den beiden Endpunkten unterstützt wird, lautet bei gleichmäßiger Streckenlast \( \mathrm{F} \) wie folgt:
\( y^{\prime \prime}=-\frac{F}{2 E I}\left(l x-x^{2}\right)(0 \leq x \leq l) \)
(E: Elastizitätsmodul, I: Flächenmoment). Bestimmen Sie durch Integration dieser Gleichung die Biegelinie für die Randwerte \( y(0)=0 \) und \( y^{\prime}\left(\frac{l}{2}\right)=0 \).
1. Intery. \( 2 C_{1} \) bad
\( y^{\prime}(x)=-\frac{F}{2 E I}\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{3} x^{3}+c_{1}\right) \)
\( \begin{aligned} r=-\frac{F}{2 E \mid} & y^{\prime}=r \int\left(\left(x-x^{2}\right) d x\right. \\ y^{\prime} & =r\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right)+C_{1} \end{aligned} \)
2. Anfangbod.
\( \begin{aligned} y^{\prime}\left(\frac{l}{2}\right) & =0 \\ \Rightarrow-\frac{E}{2 E 1}\left(\frac{1}{2} \frac{l^{2}}{4}-\frac{1}{3} \frac{l^{3}}{8}+c_{1}\right) & =0 \\ c_{1} & =-\frac{l^{3}}{n} \end{aligned} \)
\( \begin{array}{r} y^{\prime}\left(\frac{l}{2}\right)=0 \quad \Rightarrow \quad-r \frac{l^{2}}{4}\left(\frac{l}{2}-\frac{l}{6}\right)=C_{1} \\ -r \frac{l^{2}}{4}\left(\frac{3 l-l}{6}\right)=C_{1} \\ C_{1}=-\frac{r l^{3}}{12} \end{array} \)

Answer 1

Da \(r=-\frac{F}{2EI}\) ebenfalls eine Konstante ist, kannst du selbst wählen, ob du diesen Faktor mit in die Integrationskonstante "hineinstecken" möchtest oder nicht. In solchen Fällen wählt man eine Form, die praktikabel ist.

Aber rein rechnerisch passiert hier folgendes:

\(y' = r \underbrace{\int(lx-x^2)\, dx}_{= \frac l2 x^2- \frac 13 x^3 + C_1} = r\left(\frac l2 x^2- \frac 13 x^3 + C_1\right) \)

Selbstverständlich kannst du das auch so schreiben:

\(y' = = r\left(\frac l2 x^2- \frac 13 x^3\right) + C_2 \) mit \(C_2 = rC_1\)

\(C_1\) und \(C_2\) sind dann aber verschieden!

Comments

Danke schon mal für die Antwort! Hätte ich r zuvor nicht ausgeklammert, stünde das C1 aber auch alleine da. Wieso wird das hier so gemacht?

In der Aufgabe die ich zuvor bearbeitet hatte, war es genau anders herum. Da hatte ich dann aber wiederum diesen Ansatz (also r*C).

Mir erscheint das so beliebig, bzw reicht mein Verständnis noch nicht aus um da wirklich selbst entscheiden zu können wann ich wie mit der Konstante umgehe. Habe erst vor ein paar Tagen mit DGLs angefangen und in der Vorlesung springt die Konstante kommentarlos nur so rum. Hast du da Tips (falls die Frage nicht zu allgemein ist)?

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Mach dir da mal keine Sorgen.

Wenn man die allgemeine Lösung aufschreibt, ist das Herein- oder Herausziehen von konstanten Faktoren bei der Integrationskonstanten völlig normal. Teilweise ist das auch Geschmackssache.

Beim Lösen von Anfangs- oder Randwertproblemen wählt man - sofern man schon etwa rechnerischen Überblick hat - eine Form, die für das Rechnen günstig ist. Zum Schluss kommt sowieso dasselbe heraus (wenn man sich nicht verrechnet.)

Also locker bleiben heißt die Devise.

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Ok, locker bleiben ist da tatsächlich schon mal ein guter Tipp :D

Dann hätte ich hier noch eine konkrete Frage. Wäre bei der Riccati-DGL die ich bearbeitet habe, meine Lösung dann auch zutreffend? Also dass ich eben nicht vollständig zusammengefasst habe? Im Bild ist nur der letzte Teil. Gelb ist meins, Grün ist die Lösung.

Text erkannt:

4.
\( \begin{array}{l} Z=z_{H}+z_{P} \\ z_{H}=c e^{\int b d x}=c e^{-x}-\frac{c}{e^{x}} \\ z_{P}=\frac{c}{e^{x}} \int \frac{(x-1)}{\frac{c}{e^{x}}} d t=\frac{c}{e^{x}}\left(\left(\frac{x-2) e^{x}}{c}+c_{1}\right)=(x-2)+\frac{c_{n} c}{e^{x}}\right. \\ t_{P}=\frac{e}{e^{x}} \int(x-1) e^{x} d t=\frac{1}{e^{x}} e^{x}(x-2)+c_{1}=(x-2)+c_{1} \end{array} \)
\( \Rightarrow z=\frac{e}{e^{x}}+x-2+C_{1} \)
2avong: \( \frac{c}{e^{x}}+x-2 \)
5. \( y=y_{p}+\frac{1}{z} \)
\( y=1+\frac{1}{\frac{c}{e^{x}}+x-2+c_{1}} \)
\( y=1+\frac{1}{\frac{c}{e^{x}}+x-2} \)

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Gib mal die DGLs dazu.

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1. Bild: Aufgabe

2. & 3. Mein Lösungsweg, die Musterlösung ging anders habe zum Schluss nur den letzten Schritt verglichen

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Im Schritt 4 ist ein Fehler, den ich dir im Bild markiert habe.

Lies nochmal meine Antwort und frage dich, ob \(\frac 1{e^x}\) eine Konstante ist. Offenbar nicht. Also kannst du diese Funktion nicht einfach in einer Konstanten "verschwinden" lassen.

Außerdem berechnest du an dieser Stelle die partikuläre Lösung der inhomogenen linearen DGL. Bekanntermaßen benötigt man für die allgemeine Lösung nur eine partikuläre Lösung, denn du hast schon die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung. D.h., hier kannst du \(C_1 = 0\) setzen.

p.s:
Für weitere Fragen, die nicht dein ursprünglich gepostetes Problem direkt betreffen, stelle bitte eine neue Frage ein.

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Oh ja das habe ich übersehen. Dann sind $$\frac{C + c1}{e^x}$$ im letzten zusammengefasst worden und C1 wurde null gesetzt, habe ich das richtig verstanden? Letzte Frage (kann sie sonst auch im gesonderten Thread stellen): Bestimme ich bei der allgemeinen Lösung einer inhomogene DGL den Anfangswert dann immer mit Hilfe der Konstante aus der homogenen DGL?

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Der Begriff der "inhomogenen DGLs" gehört zu den linearen DGLs.
Diese haben eine spezielle Lösungsstruktur:

allgemeine Lösung der homogenen Gleichung + eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung

D.h., die Integrationskonstante gehört also zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung.

Wenn du dir nochmal in Ruhe den Schritt 4 anschaust, siehst du, dass \(\frac{C_1}{e^x}\) nichts anderes ist als die Lösung der homogenen Gleichung. Die Berechnung der partikulären Lösung hat also noch einmal nebenbei die homogene Lösung "mitreproduziert".