Vollständige Induktion bei n größer gleich 2. Summe n-1

Question

Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe. Diese soll mithilfe Vollständiger Induktion gelöst werden.

Ich bin mir nicht sicher wie ich mit dem n-1 umgehen muss. Vielleicht kann mir da ja wer weiterhelfen. Vielen Dank schon einmal. :)

Text erkannt:

Für alle \( n \in \mathbf{N}, n \geqslant 2 \) gilt:
\( \sum \limits_{k=1}^{n-1} \frac{2 k^{2}}{3^{k+1}}=1-\frac{n^{2}+n+1}{3^{n}} . \)

Answer 1

Es funktioniert alles wie sonst auch. Der Induktionsschritt geht dann eben über \( n-1 \rightarrow n \).

Answer 2

Wenn du damit so arge Probeme hast, könntest du in der Formel überall für n einfach n + 1 einsetzen. Dann läuft die Summe bis n und es ist vielleicht einfacher für dich.

Comments

Alles klar.

Sähe das dann eingesetzt so aus?

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2 k^{2}}{3^{k+1}}=1-\frac{(n+1)^{2}+n+2}{3^{n+1}} . \)

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Genau. Damit schaffst du es dann eine vollständige Induktion zu machen? Übrigens wäre jetzt auch das kleinste n für das zu es zeigen musst n = 1

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Super alles klar. Dankeschön.

Könnte ich also hier direkt schon mit dem n=1 auflösen und die Funktion wäre bewiesen?

Also runtergerechnet dann:

2/9 = 2/9

Oder muss ich dazu noch mehr machen?

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Ja. Das wär dann schon der Induktionsanfang

2*1^2/(3^(1 + 1)) = 1 - ((1+1)^2 + 1 + 2)/(3^(1 + 1))

2/9 = 2/9

Dann fehlt nur noch der Induktionsschritt. Also jetzt zeigen das wenn es für n gilt, dass es dann auch für n + 1 gilt.

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Hi nochmal,

Ich habe mich jetzt einfach nochmal an eine ähnliche Aufgabe gewagt, komme nur ganz am Ende nicht mehr weiter.

Vielleicht könntest du dir das nochmal anschauen, das wäre super. Vielen Dank

Text erkannt:

MA1 Allelasar wise 22/23
300124
1)
\( \sum \limits_{k=0}^{n-1} \frac{x^{2}-3 k}{2^{k+1}}=\frac{n(1-n)}{2^{n}} \)

MV: IA:
\( \begin{array}{l} n=1 \\ \sum \limits_{k=0}^{1-1} \frac{k^{2} \cdot 3 k}{2^{k+1}}=\frac{1(1-1)}{2^{1}} \\ \frac{0^{2} \cdot 3 \cdot 0}{2^{0+1}}=0 \\ 0=0 \quad \\ \end{array} \)

IV: \( \exists n \in N: \sum \limits_{k=0}^{n-1} \frac{k^{2}-3 k}{2^{k-1}}=\frac{n(1-n)}{2^{n}} \)
15:
\( \begin{array}{l} n \rightarrow n+1 \\ (n+1)-1 \\ \sum \limits_{k=0} n \frac{k^{2}-3 k}{2^{k+1}}=\frac{n+1(1-n+1)}{2^{n+1}} \end{array} \)
\( (n+1)-1 \)
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=0}^{(n-1)-1} \frac{k^{2}-3 k}{2^{k+1}}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} \frac{k^{2}-3 k}{2^{k+1}}+(n+1)=\frac{n(1-n)}{2^{n}}+\frac{2(n+1)}{2} \\ =\frac{n(1-n)+2(n+1)}{2^{n+1} n 2}=\frac{n-n^{2}+2 n+3}{2^{n+1}}= \end{array} \)