Limes mit L'Hospital berechnen?

Question

Aufgabe:

(sin²(x))^sin(x)

Löse mit L'Hospital für lim x -> 0

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht drauf, könnte mir das jemand vorrechnen?

Answer 1

Setze \(s = \sin x\) und betrachte \(s\to 0\):

$$(s^2)^s = (|s|^s)^2 $$

Um L'Hospital zu benutzen, betrachtest du den Logarithmus und formst auf die Form "\(\frac{\infty}{\infty}\)" (bis auf etwaige Vorzeichen) um:

\(s\ln |s| = \frac{\ln |s|}{\frac 1s} \stackrel{L'Hosp.}{\sim}\frac{\frac 1s}{-\frac 1{s^2}}=-s\stackrel{s\to 0}{\longrightarrow}0\)

Damit gilt

$$(s^2)^s = (|s|^s)^2 = e^{2s\ln |s|}\stackrel{s\to 0}{\longrightarrow}e^{2\cdot 0} = 1$$

Insbesondere gilt damit also auch

$$\lim_{x\to 0}(\sin^2 x)^{\sin x} = \lim_{x\to 0}(|\sin x|)^{\sin x})^2 = 1$$

Comments

Die beiden anderen Antworten benutzen als Zwischenschritt den Term ln(sin(x)), der für negative x nicht definiert ist. Dies wird hier vermieden, insofern ist dies die beste - die einzig richtige? - Lösung

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Für negative sin(x). ;)

Und die Lösung von MC ist insofern "schlecht", weil seine Darstellung abartig unübersichtlich ist. Und die Antwort von nudger liefert erstmal nur eine Idee.

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Hab meine Antwort entsprechend geändert.

Die Antwort von mc hat die gleiche Problematik (negativer sin(x)), sieht aus wie aus einem CAS-System kopiert. Was tut man nicht alles für ein paar Punkte...

Answer 2

Was hast Du probiert? Es ist normal, dass es nicht beim ersten Versuch klappt. Das braucht eine gewisse Ausdauer.

Der übliche Trick ist zu logarithmieren, also berechne erstmal den lim von \(\ln ((\sin^2(x))^{\sin x})= \sin x \cdot \ln \sin^2 x\). Schreib das um in eine Form, die l'H anwendbar macht.

Lade Deine Rechnung hoch, wenn Du dabei hängen bleibst (zur Erinnerung: Ausdauer ist gefragt).

PS: Nach Hinweis auf Problematik mit negativem \(\sin x\) geändert.

Answer 3

lim (x → 0) SIN²(x)^SIN(x)
lim (x → 0) (SIN(x)^2)^SIN(x)
lim (x → 0) SIN(x)^(2·SIN(x))
lim (x → 0) EXP(LN(SIN(x)^(2·SIN(x))))

Wir betrachten nur mal den LN

lim (x → 0) LN(SIN(x)^(2·SIN(x)))
lim (x → 0) 2·SIN(x)·LN(SIN(x))
lim (x → 0) 2·LN(SIN(x)) / (1/SIN(x))

L'Hospital

lim (x → 0) 2·COT(x) / (- COS(x)/SIN(x)^2)
lim (x → 0) - 2·SIN(x) = - 2·SIN(0) = 0

Nun betrachtet man wieder die EXP-Funktion

lim (x → 0) EXP(LN(SIN(x)^(2·SIN(x)))) = EXP(0) = 1