Wie geht es hier weiter?

Question

Text erkannt:

(ii) Es sei g : C → C analytisch mit g(z) = (z − 1)^2
für |z| = 2. Berechnen Sie den Wert g′′(1).

Aufgabe:

Text erkannt:

iii) \( g(z)=(z-1)^{2} \) fü \( |z|=2 \)
\( \begin{array}{l} g^{\prime}(z)=2(z-1) \\ g^{\prime \prime}(z)=2 \\ g^{\prime \prime}(1)=2 \end{array} \)
\( f^{(n)}(z)=\frac{n !}{2 \pi i} \oint_{d B_{r}\left(z_{0}\right)} \frac{f(\xi)}{(\rho-z)^{n+1}} d \xi \)
\( f^{(2)}(1)=\frac{2 !}{2 \pi i} \oint_{\partial B_{r}\left(z_{0}\right)} \frac{(\xi-1)^{2}}{(\xi-1)^{3}} d \xi \)
\( \begin{aligned} f^{(2)}(1) & =\frac{2}{2 \pi i} \oint_{z=|z|} \frac{1}{\xi-1} d \xi \\ & =\frac{1}{\pi i} \oint_{|z|=z_{2} \xi_{\xi}} \underbrace{\frac{1}{\xi_{j}-1}}_{\frac{1}{\xi_{\xi}-1}} d \xi \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

ich weiß nicht wie ich weitermachen soll. Mir wurde der Residuensatz empfohlen, hab aber keine Ahnung wie ich es damit lösen soll.

Comments

Naja, was weißt Du nicht? Formulierung des Residuensatzes? Begriff "Residuum"? Berechnung eines Residuums?

Answer 1

Wenn du genau hinschaust, ist für \(g(z)\) eine Potenzreihenentwicklung um \(z=1\) gegeben, nur dass alle Koeffizienten bis auf einen gleich null sind:

$$g(z) = (z-1)^2 =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(1)}{n!}(z-1)^n$$

Wegen des Identitätssatzes für Potenzreihen ist diese Potenzreihendarstellung eindeutig.

Damit lesen wir ab:$$\frac{g^{(2)}(1)}{2!} = 1 \Leftrightarrow g''(1) = 2$$