Diskutiere den Graph der Funktion y= x - (1/x²)

Question

Aufgabe:

Diskutiere den Graph der Funktion \( y=x-\frac{1}{x^{2}} \quad \) (Definitionsmenge, Stetigkeit, Symmetrie, Nullstellen, Grenzwerte, Asymptoten, Extrema, Wendepunkte) und fertige mit den Ergebnissen eine saubere Skizze im Intervall \( [-3 ; 3] \) an. (überprüfe mit Geogebra)

Problem/Ansatz:

Bräuchte hilfe wie man in Geogebra auf die jeweiligen Werte kommt und die Befehle dazu

Comments

Zum Ableiten/ Kontrollieren:

https://www.ableitungsrechner.net/

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Die Problembeschreibung fragt nach Geogebra, nicht nach Linkspam...

Answer 1

Hallo

in geogebra sieht man das doch fast alles, Es dann begründen ist nicht schwer, f(x)=0, f'(x)=0 f''(x)=0

nicht definiert, wo durch 0 dividiert wird, da auch nicht stetig.

sonst frag genauer, was du nicht kannst.

lul

Comments

wie würde den die Lösung für alle Aufgaben ausschauen wir haben keine Lösung bei dem Beispiel

Answer 2

\( y=x-\frac{1}{x^{2}} =\frac{x^3-1}{x^2}\)

Definitionsbereich:

alle \(x\) außer \(x=0\)    ∈ ℝ

Pole: Nenner ist 0

\(x^2=0\)

\(x=0\)

Bei x= 0 ist \(f(x)\) unstetig

Nullstellen:

\(\frac{x^3-1}{x^2}=0\)

\( x=1 \)

Extrema:

\( y'=\frac{3x^2  \cdot x^2-(x^3-1)\cdot 2x }{x^4}\)   mit  \(x\) gekürzt :

\( y'=\frac{3x^2  \cdot x-(x^3-1)\cdot 2}{x^3}=\frac{x^3+2}{x^3}\)

\( \frac{x^3+2}{x^3}=0\)

\( x^3=-2\)

\( x^3=-2\)

\(x=-\sqrt[3]{2} ≈-1,3\)

\( y(-\sqrt[3]{2})= \frac{-2-1}{(-\sqrt[3]{2})^{2}}= \frac{-3}{(-\sqrt[3]{2})^{2}}=-\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}≈-1,9\)

Art des Extremwerts:

\( y''(-\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}})  =-\frac{6 }{(-\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}})^4}<0\) Maximum  

Wendepunkte:

\( y''=\frac{3x^2 \cdot x^3 -(x^3+2) \cdot 3x^2}{x^6}\) mit \(x^2\) gekürzt :

\( y''=\frac{3x^2 \cdot x -(x^3+2) \cdot 3}{x^4}=-\frac{6 }{x^4}\)

keine Wendepunkte

Asymptoten mit   Polynomdivision

 \( (x^3-1):x^2=x \)  Rest \(-1\)

\( -(x^3          )\)

__________________

    \(-1\)

Somit ist \(y=x\) die  Asymptote

Bräuchte Hilfe wie man in Geogebra auf die jeweiligen Werte kommt und die Befehle dazu

Bei den 3 Punkten übereinander kannst du die Einstellungen aufrufen.

Symmetrie gebrochen-rationaler Funktionen:

https://www.geogebra.org/m/pmRAnJuy

Comments

Es fehlt noch eine Aussage zur Symmetrie und Stetigkeit.

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Für die Asymptote braucht man keine Polynomdivision, da der gegebene Term bereits y=x liefert, wenn x → ±∞ betrachtet wird.

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Eigentlich muss doch \(a(x)=- \frac{1}{x^2} \)  auch eine asymptotische Kurve sein, da der Zählergrad von \( f(x) =\frac{x^3-1}{x^2}\) um 1 größer als der Nennergrad ist?

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Eigentlich muss doch \(a(x)=- \frac{1}{x^2} \)  auch eine asymptotische Kurve sein, da der Zählergrad von \( f(x) =\frac{x^3-1}{x^2}\) um 1 größer als der Nennergrad ist?

Was hat das mit dem "um 1 größeren Nennergrad" zu tun?

Es ist \( f(x) =x-\frac{1}{x^2}\), und in der Nähe von 0 wird der Summand x vernachlässigbar.

Den gleichen Fakt hätte man auch bei \( f(x) =\frac{x^4-1}{x^2}=x^2-\frac{1}{x^2}\), wo sich Zähler- und Nennergrad NICHT um 1 unterscheiden.

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Gilt es nun als asymptotische Kurve oder nicht?

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Gilt es nun als asymptotische Kurve oder nicht?

Wen interessiert es????

Gefragt war nach Asymptoten, nicht nach asymptotischen Kurven.

Mir sträuben sich die Nackenhaare, wenn ich zudem dein unbedachtes

Somit ist \(y=x\) die  Asymptote

lese. Das ist eine Asymptote, die man übrigens mit Geogebra (wie gefordert) im Intervall [-3;3] nicht sieht. So was Triviales wie x=0 war wohl unter deiner Würde?

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Das ist eine Asymptote, die man übrigens mit Geogebra (wie gefordert) im Intervall [-3;3] nicht sieht. So was Triviales wie x=0 war wohl unter deiner Würde?

Na, dann schau mal in meiner Antwort von heute vormittag!

Ich mag gar nicht äußern, was ich von dir denke!!

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Na, dann schau mal in meiner Antwort von heute vormittag!

Da steht nur was von "Pol", Nicht jedem Schüler ist automatisch bewusst, dass damit auch eine Asymptote verbunden ist. Aber konkret auf eventuelle Nöte der Fragesteller einzugehen war ja noch nie so dein Ding.

Answer 3

Hier eine Skizze mit Geogebra. Welche Werte möchtest denn mit Geogebra bestimmen?