Bestimmen Sie die Kantenlängen a, b, und x des Quaders mit dem maximalen Volumen.

Question

Ein Quader mit den Kantenlängen a, b und x habe eine Gesamtkantenlänge von 4 m.
Bestimmen Sie die Kantenlängen a, b, und x des Quaders mit dem maximalen Volumen.

Comments

Ein Würfel hat 12 Kanten, also Kantenlänge = 1/3 m

Oder ich sehe die Pointe der Aufgabe nicht.

---

döschwo, du setzt in deiner Lösung voraus, dass der Würfel der volumengrößte Quader bei gegebener Gesamtkantenlänge ist. Dann ist die Aufgabe natürlich witzlos. Genau das, was du zum Input machst, sollte der Output sein.

---

@Roland:

Was sagst du zu meiner Lösung? Oder schwebt dir etwas anderes vor?

---

Ich erwarte eine Lösung über V_a(x)=a·(1-a-x)·x mit a als Scharparameter und dem Maximum der Ortskurve der Maxima.

---

Ich erwarte eine Lösung über Va(x)=a·(1-a-x)·x mit a als Scharparameter und dem Maximum der Ortskurve der Maxima.

... das passt aber nicht ganz zur Aufgabenstellung:

Ein Quader mit den Kantenlängen a, b und x ...

---

... das passt aber nicht ganz zur Aufgabenstellung:

Ein Quader mit den Kantenlängen a, b und x ...

Aber sicher doch. Es gilt b=1-a-x.

---

Aber sicher doch. Es gilt b=1-a-x.

das stimmt nun auch wieder!

Bestimmen Sie die Kantenlängen a, b, und x des Quaders mit dem maximalen Volumen.

ich habe die Parameter a und b nicht anders gewertet als den Parameter x. Warum auch!?

Ok - dann ist es wohl dies:$$V_a(x)=a\cdot(1-a-x)\cdot x \\ \begin{aligned} \frac{\partial V_a}{\partial x} &= -ax + a(1-a-x) \\ &= -2ax + a-a^2 \to 0 \\ \implies 0 &= -2x_e + (1-a) \\ x_e &= \frac{1-a}{2} \quad\quad a = 1-2x_e\\ \end{aligned}$$Einsetzen von \(a=\dots\) in \(V_a(x)\) gibt dann die Ortskurve $$o(x_e)= x_e^{2}-2x_e^{3}$$von der dann wiederum das Maximum bei \(x_e=1/3\) liegt.

Graphisch sieht das so aus

https://www.desmos.com/calculator/embchfl5tu

Die grünen Graphen bilden die Schar \(V_a\). Die rot gestrichelte Kurve ist die Ortskurve der Maxima.

@Roland: ist es das was Du erwartet hast?

---

Ja, das habe ich erwartet und entspricht dem Vorgehen eines guten Oberstufenschülers, der Ortslinien charakteristischer Punkt kennt und interpretieren kann.

Answer 1

Hallo Roland,

ganz formal kann man hier den Lagrange Multiplikator ansetzen:$$V=abx \to \max \quad a+b+x = C\\ \mathcal{L}(a,b,x,\space \lambda) = abx + \lambda(a+b+x - C) \\ \nabla\mathcal{L} = \begin{pmatrix} bx\\ax\\ab \\ \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1\\1\\ 1 \end{pmatrix} \to 0 \\ \implies bx = ax = ab \\ \implies a=b=x \\$$was dann sofort zum Würfel führt.

Folgendes Bild soll das obige veranschaulichen (klick drauf):

Die blaue Fläche ist die Ortsfläche aller Punkte \((a,b,x)\) in \(\mathbb{R}^3\), für die \(abx=1/27\) gilt. Die rote Fläche ist die Ortsfläche aller Punkte \((a,b,x)\) in \(\mathbb{R}^3\), für die \(a+b+x=1\) gilt. Ein Extrempunkt liegt dort, wo beide Flächen sich berühren und in diesem Punkt sind die Normalvektoren der Flächen linear abhängig und genau dies nutzt der Lagrange Multiplikator.

Gruß Werner

Comments

Werner, die erwartete Antwort steht im Kommentar und kann dort nicht bewertet werden.

Answer 2

4a+4b+4x= 4

a+b+x = 1

x= 1-a-b

V(a,b) = ab(1-a-b)

V(a,b) -> max

https://www.wolframalpha.com/input?i=maximize+ab%281-a-b%29

Answer 3

V_a(x)=a·(1-a-x)·x

Die Ableitung nach x wird 0, wenn 1-a-2x=0 gilt.

Das ist bei x=(1-a)/2 der Fall.

Dann ist V((1-a)/2)=a·(1-a-(1-a)/2)·(1-a)/2=a(1-a)²/4=a/4 - a²/2 +a³/4.

Das wird maximal, wenn 0,25 - a + 0,75a²=0 gilt.

Normalform: a² -4a/3 +1/3=0

Lösungen: a=1 (Volumenminimum, da die übrigen Kanten dann 0 sind) und a=1/3.

Wegen x=(1-a)/2 gilt dann auch x=1/3, und wegen b=1-a-x gilt ebenfalls b=1/3.