Ist die Funktion für alle x konvex?

Question

Ansatz : f(x) = a^x

      f´(x) = a^x*ln(a)

      f´´(x) = a^x*ln(a)^2

Da ln(a)^2 > 0 und a^(x) > o ist muss f´´(x) > 0 sein, weil a∈ℝ⁺ ist. Für konvexe Funktion muss f´´(x) > 0 sein.

Deshalb ist die Aussage wahr.

Sind meine Überlegungen richtig ?

Vielen Dank im Voraus

Comments

ln(a)^2 würde ich eher schreiben als (ln(a))^2 oder ln^2(a)

Answer 1

Das stimmt so. Was passiert mit \( a=1 \)? Warum ist das ausgeschlossen?

Comments

Perfekt vielen Dank. Weil wir für jedes x denselben Funktionswert bekommen und somit können wir keine Aussage über die Konvexität und Konkavität der Funktion treffen. Die zweite Ableitung ist 0, daher ist die Funktion weder konkav noch konvex.

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daher ist die Funktion weder konkav noch konvex.

Du hast damit eine Aussage über die Konvexität und Konkavität der Funktion getroffen.

Außerdem ist die Funktion \(x\mapsto a^x\) für \(a=1\) nach meiner Defnition sowohl konkav, als auch konvex.