Um auf deine Frage einzugehen:
Warum sehen die Lösungen denn anders aus?
Das letztere ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen bzgl. der Addition (zu einer Gruppe), sodass jede Gleichung der Form \(x+a = b\) für beliebige \(a,b \in \mathbb N\) eine Lösung hat.
Die Idee dahinter ist die folgende:
Wenn \(m > n \) und \(p>q\), dann gilt
\(m-n = p-q \Leftrightarrow m+q = n+p\)
Die letztere Beziehung lässt sich aber auch auf den Fall \(m\leq n\) und \(p\leq q\) ausdehnen.
Als Ergebnis erhält man ein Modell der ganzen Zahlen als Gruppe bzgl. der Addition.
Mit dem gleichen algebraischen Verfahren kann man \(\mathbb Z\) bzgl. der Multiplikation so (zu einer Gruppe) erweitern, dass jede Gleichung der Form \(ax = b\) mit \(a\neq 0\) eine Lösung hat.
Die Idee hier ist analog zu oben:
Wenn \(b | a \) und \(d|c\), dann gilt
\(a:b = c:d \Leftrightarrow a\cdot d= b\cdot c\)
Die letztere Beziehung lässt sich ebenfalls auf ganze Zahlen ausdehnen, ohne dass \(b | a \) und \(d|c\) gelten muss.
Als Ergebnis erhält man ein Modell der rationalen Zahlen als Gruppe bzgl. der Multiplikation.
