Finden Sie invariante Unterräume für folgende geometrisch beschriebene Abbildungen:

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( f: V \rightarrow V \) linear. Beweisen Sie, dass Summen und Schnitte invarianter Unterräume invariante Unterräume sind.

Finden Sie außerdem invariante Unterräume für folgende geometrisch beschriebene Abbildungen:

a) \( R_{\varphi}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \), die Drehung gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel \( \varphi \);

b) \( R_{\varphi, u}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \), die Drehung um den Winkel \( \varphi \) bezüglich der Achse \( \ell_{u}=\langle u\rangle \) gegeben durch den Vektor \( u \neq 0 \).

Problem/Ansatz:Guten Abend alle zusammen, ich wollte bezüglich diese Aufgabe um Hilfe bitten, da mir vollständig der Ansatz für a und b fehlt. Ich kann zeigen, dass der Schnitt und die Summe invarianter Unterräume invariante Unterräume sind, doch für a und b fehlen mir die Ideen.

Answer 1

zu a) Unterräume von ℝ² gibt es ja nur:

         i) den Nullraum. Der ist invariant bei jeder Drehung um (0;0);

                          denn (0;0) wird ja immer auf (0;0) abgebildet.

        ii)  ganz ℝ² . Der ist auch invariant bei jeder Drehung um (0;0);

                       denn jedes El. von ℝ² wird wieder auf eines von ℝ² abgebildet.

        iii) Die eindimensionalen. Die bestehen immer aus den Vielfachen

            eines von 0 verschiedenen Vektors v. Invariant sind die also,

wenn jedes Vielfache von v wieder auf ein Vielfaches von v abgebildet

wird, das passiert immer wenn \( \varphi \) ein Vielfaches von \( \pi \) ist.