Aloha :)
zu a) Du hast das Prinzip der Matrix-Multiplikation noch nicht wirklich verstanden. Wir betrachten zuerst die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor. Als Beispiel nehmen wir die linke Matrix aus Teil (a)$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$$Die Spaltenvektoren der linken Matrix werden durch die Multiplikation mit dem rechten Vektor zu einem neuen Vektor kombiniert. Die \(n\)-te Koordinate des Vektors gibt an, wie stark die \(n\)-te Spalte der Matrix in den Ergebnisvektor eingeht.
Nun zerlegst du im Kopf die Matrizenmultiplikation aus der Aufgabenstellung in 3 Multiplikationen mit jeweils einem Vektor. Die erste Multiplikation lautet:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Wenn wir einfach keinen einzigen Spaltenvektor für die Linearkombination auswählen, erhalten wir als Ergebnis den Nullvektor, denn es gilt ja:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\red0\\\red 0\\\red 0\end{pmatrix}=\red0\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+\red0\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\red0\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
Die zweite Multiplikation lautet:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}$$Man sieht sofort, dass wir den ersten Spaltenvektor der Matrix mit \(2\) multiplizieren können, um den gewünschten Ergebnisvektor zu erhalten. Die beiden anderen Spaltenvektoren brauchen wir nicht.$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\color{blue}2}\\{\color{blue}0}\\{\color{blue}0}\end{pmatrix}={\color{blue}2}\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+{\color{blue}0}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+{\color{blue}0}\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}$$
Die dritte Multiplikation lautet:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}$$Hier sieht man auch sehr schnell, dass wir den dritten Spaltenvektor der Matrix mit \((-1)\) multiplizieren müssen, um den gewünschten Ergebnisvektor zu erhalten. Die beiden anderen Basisvektoren brauchen wir wieder nicht:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\color{brown}0}\\{\color{brown}0}\\{\color{brown}-1}\end{pmatrix}={\color{brown}0}\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+{\color{brown}0}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+{\color{brown}(-1)}\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}$$
Das alles machst du natürlich im Kopf und fasst nur das Ergebnis zusammen:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\red0 & {\color{blue}2} & {\color{brown}0}\\\red 0 & {\color{blue}0} & {\color{brown}0}\\\red 0 & {\color{blue}0} & {\color{brown}-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\0 & 6 & -2\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$
zu b) Jetzt solltest du das Prinzip verstanden haben. Bei Teil (b) haben wir 3 Spaltenvektoren in der linken Matrix zur Auswahl. Daher brauchen wir bei der Vektor-Multiplikation einen 3-dimensionalen Vektor, denn wir müssen ja angeben, wie stark jeder der 3 Spaltenvektoren zum Ergebnisvektor beitragen soll.$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}? & ?\\? & ?\\? & ?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\1 & 6\end{pmatrix}$$
Die erste Spalte der Fragenzeichen-Matrix sollte sofort klar sein, denn wir brauchen den zweiten Spaltenvektor der linken Matrix genau 1-mal, um den Zielvektor \(\binom{2}{1}\) zu erhalten. Die beiden anderen Spaltenvektoren brauchen wir nicht:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & ?\\1 & ?\\0 & ?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\1 & 6\end{pmatrix}$$
Die zweite Spalte der Fragenzeichen-Matrix ist auch sofort hingeschrieben. Offensichtlich brauchen wir den ersten Spaltenvektor der linken Matrix doppelt, um den Zielvektor \(\binom{2}{6}\) zu erhalten:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 2\\1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\1 & 6\end{pmatrix}$$
zu c) Die linke Matrix \(X\) muss zwei Spaltenvektoren haben, denn wir multiplizieren sie mit 2-dimensionalen Vektoren. Die Spaltenvektoren der linken Matrix \(X\) müssen 3 Komponenten haben, denn die Zielvektoren rechts vom Gleichheitszeichen haben alle 3 Komponenten:$$\begin{pmatrix}? & ?\\? & ?\\? & ?\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 3\\2 & 1\end{pmatrix}$$
Wir zerlegen die Matrix-Multipikation wieder in ihre einzelnen Vektor-Multiplikationen:$$\begin{pmatrix}? & ?\\? & ?\\? & ?\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$Mit dem Vektor \(\binom{1}{0}\) wählen wir 1-mal den ersten Spaltenvektor der linken Fragezeichen-Matrix aus. Das Ergebnis dieser Auswahl soll der Vektor \((1;0;2)^T\) sein. Also muss dieser Vektor in der ersten Spalte der Fragenzeichen-Matrix stehen:$$\begin{pmatrix}1 & ?\\0 & ?\\2 & ?\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 3\\2 & 1\end{pmatrix}$$
Nun schauen wir uns die zweite Vektor-Multiplikation an:$$\small\begin{pmatrix}1 & ?\\0 & ?\\2 & ?\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\implies2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$$Damit ist der zweite Spaltenvektor der Fragenzeichen-Matrix ebenfalls klar:$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 3\\2 & -3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 3\\2 & 1\end{pmatrix}$$
