Aloha :)
zu 1) Bestimme den Mittelwert \(\left<k\right>\) der \(k\)-Werte und den Mittelwert \(\left<k^2\right>\) der Quadrate der \(k\)-Werte:$$\left<k\right>=\frac14\cdot(-10)+\frac16\cdot0+\frac12\cdot5+\frac{1}{12}\cdot10=\frac56$$$$\left<k^2\right>=\frac14\cdot(-10)^2+\frac16\cdot0^2+\frac12\cdot5^2+\frac{1}{12}\cdot10^2=\frac{275}{6}$$
Für Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) gilt nun:$$\mu=\left<k\right>=\frac56\quad;\quad\sigma^{\pink2}=\left<k^2\right>-\left<k\right>^{\pink2}=\frac{250}{6}\implies\sigma=\sqrt{\frac{250}{6}}=\frac{5\sqrt{15}}{3}$$Achte bei der Formel für die Standardabweichung auf die beiden pinken Quadrate!
zu 2) In der Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung sind wir ja nun schon geübt:$$\left<g\right>=\frac23\cdot(-1)+\frac16\cdot0+\frac{1}{10}\cdot1+\frac{1}{15}\cdot4=-\frac{3}{10}$$$$\left<g^2\right>=\frac23\cdot(-1)^2+\frac16\cdot0^2+\frac{1}{10}\cdot1^2+\frac{1}{15}\cdot4^2=\frac{11}{6}$$
Für Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) gilt nun wieder:$$\mu=\left<g\right>=-\frac{3}{10}\quad;\quad\sigma^{\pink2}=\left<g^2\right>-\left<g\right>^{\pink2}=\frac{523}{300}\implies\sigma=\sqrt{\frac{523}{300}}\approx1,3204$$
Leider schreibst du nicht, wie das Spiel funkioniert. Ich vermute, dass die Teilnahme an einem 1€ kostet, den man mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac23\) verliert, daher die \((-1)\). Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac16\) gewinnt man 1€ und hat dann abzüglich des Einsatzes 0€ erhalten. Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{10}\) gewinnt man 2€ und erhalt unter dem Strich 1€ zurück. Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{15}\) gewinnt man 5€, macht abzüglich des Einsatzes dann 4€.
Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert Null sein:$$0\stackrel!=\left<g\right>=\frac23\cdot E+\frac16\cdot0+\frac{1}{10}\cdot1+\frac{1}{15}\cdot4=\frac23E+\frac{11}{30}\implies E=-0,55$$Für ein faires Spiel müsste der Einsatz also \(55ct\) betragen.
Bleibt der Einsatz bei \(1€\) und soll der maximale Gewinn so angepasst werden, dass das Spiel fair ist, muss gelten:$$0\stackrel!=\left<g\right>=\frac23\cdot(-1)+\frac16\cdot0+\frac{1}{10}\cdot1+\frac{1}{15}\cdot G=-\frac{17}{30}+\frac{G}{15}\implies G=8,5$$Die maximale Gewinn müsste bei \(8,50€\) liegen, was einer maximalen Auszahlung von \(9,50€\) entspricht.
