Partielle Integration kürzen

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{}^{} \)(\( x^{2} \)+1)*In(x) dx

v(x)=In(x)

v'(x)= 1/x

u'(x)= x^2+1

u(x)= 1/3x^3+1

= 1/3x^3+x * In(x) - \( \int\limits_{}^{} \) 1/3x^3+x*1/x

= 1/3x^3+x * In(x) - \( \int\limits_{}^{} \) 1/3x^3+1

in der lösung steht das es am ende 1/3x^2+1 ist. Durch was wurde das eine x weggekürzt? Also warum x^2 statt x^3?

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Du abreitest zu ungenau, achte auf die korrekte Klammerung:$$I=\int\underbrace{(x^2+1)}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}\,dx=\underbrace{\left(\frac{x^3}{3}+x\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}-\int\underbrace{\left(\frac{x^3}{3}+x\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=v'}dx$$$$\phantom I=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\ln(x)-\int\left(\frac{x^2}{3}+1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\ln(x)-\frac{x^3}{9}-x+\text{const}$$$$\phantom I=\frac{x(x^2+3)}{3}\ln(x)-\frac{x(x^2+9)}{9}+\text{const}$$

Answer 2

\(u(x)=\frac13x^3+x\)

Beim Einsetzen in die Regel hast Du Klammern vergessen. Beide Male.

Und beim Integral das \(dx\). Damit kommt alles hin.