Bestimme für die Matrix A einen Wert von t

Question

Aufgabe:

Bei quadratischen Matrizen wird die Summe der Elemente der Hauptdiagonale als Spur bezeichnet. So hat die Matrix \( \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \) die Spur 2+6=8.

Bestimme für die Matrix A = \( \begin{pmatrix} t & -t \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) den Wert von t∈ℝ so, dass die Spur Matrix A gleich zu der Spur zu ihr inversen Matrix A-^1 ist.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich diese Aufgabe? Ich stehe total auf dem Schlauch..

Comments

1. Berechne Die Spur von A

2. Berechne Die Inverse von A

3. Berechne Die Spur der Inersen von A und Vergleiche mit der Spur von A

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Wie berechne ich aber die Inverse mit t? behandel ich diese als eine 1

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Nein, Du führst sie als Variable mit.

Wie berechnet Du denn im Allgemeinen die Inverse einer Matrix?

Answer 1

Aloha :)

$$A=\left(\begin{array}{rr}t & -t\\1 & 0\end{array}\right)\implies\operatorname{Spur}(A)=t+0=t$$$$A^{-1}=\frac1t\left(\begin{array}{rr}0 & t\\-1 & t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\-\frac1t & 1\end{array}\right)\implies\operatorname{Spur}(A^{-1})=0+1=1$$Beide Spuren sind nur gleich für \(t=1\).

Zur Erinnerng, die Inverse einer \(2\times2\) Matrix erhält man deuch Vertauschung auf der Hauptdiagonalen, Negation auf der Nebendiagonalen und Division duch die Determinane.