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Aufgaben:

Bei einem Glücksspiel hat man ein Guthaben von 1, 2 oder 3€. In jeder Spielrunde wird ge-würfelt. Wenn man eine „1" oder eine „6" würfelt, erhält man 1 € hinzu, sonst verliert man 1€.
Das Spiel endet, wenn das Guthaben aufgebraucht ist oder wenn man 4 € Guthaben hat.

1. Sie haben ein Guthaben von 2€. Bestimmen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die 2 € verlieren.


Lösung im Buch:

a2= 4/5

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den weg zur lösung nicht, kann mir jemand weiter helfen?

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diese Aufgabe habe ich schon gelöst. mein problem  ist, dass ich den weg zur Lösung der Aufgabe b) nicht nachvollziehen kann und nicht weiß was ich machen muss.

Da nach 1, nach 3, nach 5 ... Zügen das Guthaben ungerade ist, kann das Spielende nur nach 2, nach 4, nach 6 ... Zügen erfolgen.

Nach zwei Zügen gibt es drei mögliche Guthaben:

4 € und damit Spielende  (Wahrsch. (1/3)²=1/9)

0 € und damit Spielende und das Geld ist weg (Wahrsch. (2/3)²=4/9)

2  € und Spiel geht weiter (Restwahrscheinlichkeit 4/9).


Für ein Spielende mit 0€ gibt es damit folgenden Möglichkeiten:

0 € nach 2 Zügen  (4/9)

2 € nach 2 Zügen und dann 0 € nach 4 Zügen   (4/9)*(4/9)

2 € nach 2 Zügen und 2 € nach 4 Zügen und dann 0 € nach 6 Zügen  
(4/9)* (4/9)*(4/9)

2 € nach 2 und nach 4 und nach 6 Zügen und dann 0 € nach 8 Zügen
(4/9)*(4/9)* (4/9)*(4/9)


usw.

Diese unendlich vielen Wahrscheinlichkeiten sind zu addieren und ergeben nach Ausklammern der gemeinsamen Faktors 4/9

\( \frac{4}{9}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{4}{9})^n \)=\( \frac{4}{9}\cdot(\frac{1}{1-\frac{4}{9}} )\)

1 Antwort

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Hier geht es doch um eine Markowkette mit den Zuständen

zo (Du hast 0 Euro.) , z1 (Du hast 1 Euro.) , etc bis z4 (Du hast 4 Euro.) ,

Schreibe dir mal die Übergangsmatrix auf und bilde ein paar

Potenzen mit Hochzahl n davon, dann kannst du ja an der

Stelle 3,1 ablesen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist nach

n-maligem Würfeln in den Zustand 0 zu gelangen, also die 2 Euro

zu verlieren und an der Stelle 3,5 die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen.

Erstere ist 4-mal so groß wie letztere, also Verlustwahrscheinlichkeit 4/5.

Avatar von 289 k 🚀

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