Da nach 1, nach 3, nach 5 ... Zügen das Guthaben ungerade ist, kann das Spielende nur nach 2, nach 4, nach 6 ... Zügen erfolgen.
Nach zwei Zügen gibt es drei mögliche Guthaben:
4 € und damit Spielende (Wahrsch. (1/3)²=1/9)
0 € und damit Spielende und das Geld ist weg (Wahrsch. (2/3)²=4/9)
2 € und Spiel geht weiter (Restwahrscheinlichkeit 4/9).
Für ein Spielende mit 0€ gibt es damit folgenden Möglichkeiten:
0 € nach 2 Zügen (4/9)
2 € nach 2 Zügen und dann 0 € nach 4 Zügen (4/9)*(4/9)
2 € nach 2 Zügen und 2 € nach 4 Zügen und dann 0 € nach 6 Zügen
(4/9)* (4/9)*(4/9)
2 € nach 2 und nach 4 und nach 6 Zügen und dann 0 € nach 8 Zügen
(4/9)*(4/9)* (4/9)*(4/9)
usw.
Diese unendlich vielen Wahrscheinlichkeiten sind zu addieren und ergeben nach Ausklammern der gemeinsamen Faktors 4/9
\( \frac{4}{9}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{4}{9})^n \)=\( \frac{4}{9}\cdot(\frac{1}{1-\frac{4}{9}} )\)
