Untersuche die linearen Abbildung \( f(x)=A x \) auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right) \)
Lösungsweg:
Surjektiv:
Verwende das Gaußverfahren, \( \operatorname{um} \operatorname{rg}(f)=\operatorname{rg}(A) \) zu bestimmen.
\( \begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right) & \xrightarrow{\mathrm{I} \leftrightarrow \Pi}\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right) \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & -3 \end{array}\right) \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned} \)
Lies den Rang ab und treffe eine Aussage über die Surjektivität der Abbildung:
\( \operatorname{rg}(f)=2<3=\operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \)
\( \Rightarrow f \) ist nicht surjektiv
\( \Rightarrow f \) ist nicht bijektiv
Kann man nicht auch argumentieren, dass die det(A) = 8 \not 0 ist und somit entspricht der Rang der Anzahl Spalten und Zeilen, also 3? und dh. dass die Abbildungsmatrix injektiv surjektiv und bijektiv ist?
