Finden Sie die Signatur folgender quadratischer Form auf ℝ^{4}

Question

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Aufgabe 2 (6 Punkte). Finden Sie die Signatur folgender quadratischer Form auf \( \mathbb{R}^{4} \)
\( q(x)=x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-3 x_{3} x_{4} . \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Bezüglich dieser Aufgabe, sofern mir bekannt splittet man die Einträge einer solchen quadratischen Form in eine symmetrische Matrix und Gaußt diese symmetrisch, bis man die Diagonalform erreicht, dann kann man ja die Signatur schon ablesen. Bei dieser hier habe ich aber das Problem, dass die sich ergebende Matrix nur unter großem Rechenaufwand diagonalisieren lässt, ich befürche so viel Zeit wird man in der Klausur nicht haben. Kennt jemand möglicherweise andere Methoden die Signatur zu bestimmen ? Was wäre in diesem Fall möglich statt symmetrisch zu gaußen ?

Comments

Ein Vorschlag: Besagte symmetrische Matrix sieht so aus: \(\begin{pmatrix}0&\frac12&0&0\\\frac12&0&1&0\\0&1&0&-\frac32\\0&0&-\frac32&0\end{pmatrix}\)
Meines Erachtens genügt es, mit dem symmetrischen Gauß-Verfahren die \(1\) zu eliminieren:$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\-2&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&\frac12&0&0\\{\frac12}&0&1&0\\0&1&0&-\frac32\\0&0&-\frac32&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&-2&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\frac12&0&0\\{\frac12}&0&0&0\\0&0&0&-\frac32\\0&0&-\frac32&0\end{pmatrix}$$Es gibt also zwei positive und zwei negative Eigenwerte.

Alternativ berechne das charakteristische Polynom und stelle fest, dass es biquadratisch ist.

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Danke für deine Antwort!

Ich denke dein Ansatz haut hin… kam irgendwie gar nicht auf die Idee weil ich dachte die Eigenwerte müssen zwingend auf die Diagonale, aber hier muss ich ja nur noch Zeilen tauschen und die sind auf der Diagonale. Dann haben wir ja Sig(2,2,0).

Willst du das nochmal als Antwort aufschreiben damit ich sie mal als beste Antwort markiere? :D

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Zeilenvertauschungen (ohne die entsprechenden Spaltenvertauschungen) sind keine gute Idee, denn das wären keine symmetrischen Umformungen. Man kann die Eigenwerte der letzten Matrix trotzdem relativ leicht bestimmen, denn es handelt sich um eine Blockmatrix.

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hmm okay. Warum Blockmatrix aber ? Wir haben doch nur „normale“ Einträge ?

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Oben links, sowie unten rechts befindet sich jeweils eine 2×2-Matrix, alle anderen Einträge sind Null:$$\left(\!\!\begin{array}{cc|cc}0&\frac12&0&0\\{\frac12}&0&0&0\\\hline0&0&0&-\frac32\\0&0&-\frac32&0\end{array}\!\!\right)$$

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Cool, danke. Also darf ich bei Blockmatrizen die Eigenwerte so ablesen wie du es zuvor gemacht hast, also symmetrisch Gaußen bis in die „Endform“ ? Und die Eigenwerte müssen dann nicht zwingend auf der Diagonale stehen ?

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Nicht ganz. Du solltest die Eigenwerte der beiden 2×2-Matrizen berechnen.
Z.B. sind \(\frac12\) und \(-\frac12\) die Eigenwerte von \(\begin{pmatrix}0&\frac12\\\frac12&0\end{pmatrix}\).

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okay, dann schreib ich mir das so hinter die Ohren. Kann man das vielleicht irgendwo nachschlagen ? In meinem Skript ist leider nichts zu dieser Methode erklärt.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Blockmatrix#Blockdiagonalmatrix

Oder versuche einmal die alternative Methode.

Answer 1

kam irgendwie gar nicht auf die Idee weil ich dachte die Eigenwerte müssen zwingend auf die Diagonale.

Du kannst die Signatur grundsätzlich mit Hilfe der Eigenwerte berechnen. Dafür ist es unerheblich, wo sie stehen, da du ja nur die Vorzeichen brauchst bzw. die Vielfachheit von 0. Vergleiche https://de.wikipedia.org/wiki/Signatur_(Lineare_Algebra) unter Algorithmus zur Bestimmung.