Mit Hilfe der Definition Grenzwert herausfinden

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

iv) Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass die Folge \( \left(\frac{n^{5}+4 n^{3}-27 n+\frac{2}{n^{2}}}{\frac{3}{2} n^{5}-2 n^{2}+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) den Grenzwert \( \frac{2}{3} \) hat.

Problem/Ansatz: hallo, ich komme hier leider nicht weiter. Ich weiß, dass man den Grenzwert auch leichter herausfinden kann, unser Professor will es aber so. Ich weiß nicht ob ich es bis jetzt richtig gemacht habe und wollte mal nachfragen wie ich da genau ran gehen soll.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\left|\frac{n^{5}+4 n^{3}-27 n+\frac{2}{n^{2}}}{\frac{3}{2} n^{5}-2 n^{2}+1}-\frac{2}{3}\right|<\varepsilon \\ \left|\frac{n^{5}+4 n^{3}-27 n+n^{2}-n^{5}+\frac{4}{3} n^{2}-\frac{2}{3}}{\frac{3}{2} n^{5}-2 n^{6}+1}\right| \\ \left|\frac{4 n^{3}-27 n+\frac{2}{n^{2}}+\frac{4}{3} n^{2}-\frac{2}{3}}{\frac{3}{2} n^{5}-2 n^{2}-\frac{2}{3}}\right| \\ \left|\frac{n^{8}\left(4-\frac{27}{n^{2}}+\frac{2}{n^{5}}+\frac{\frac{4}{3}}{n}-\frac{\frac{2}{3}}{n^{3}}\right)}{n^{8}\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{n^{3}}-\frac{2}{n^{5}}\right)}\right| \\ \left|\frac{4-\frac{27}{n^{2}}+\frac{2}{n^{5}}+\frac{\frac{4}{3}}{n}-\frac{\frac{2}{3}}{n^{8}}}{n^{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{n^{3}}-\frac{2 / 3}{n^{5}}\right)}\right| \\\end{array} \)

Comments

Warum klammerst du n^8 aus?

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Ich hatte ein Bild hochgeladen von meiner Aufgabe, ich glaub es hat’s falsch aufgenommen.. beim Zähler sollten es n^3 sein und beim Nenner n^5

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich mache es mal ausführlich, damit die Vorgehensweise klar wird...

Wir haben eine Folge gegeben:$$a_n=\frac{n^5+4n^3-27n+\frac{2}{n^2}}{\frac32n^5-2n^2+1}=\frac{n^5+4n^3-27n+\frac{2}{n^2}}{\frac32\left(n^5-\frac43n^2+\frac23\right)}$$$$\phantom{a_n}=\frac23\cdot\frac{3n^5+12n^3-81n+\frac{6}{n^2}}{3n^5-4n^2+2}$$$$\phantom{a_n}=\frac23\left(\pink1+\frac{3n^5+12n^3-81n+\frac{6}{n^2}\pink{-\left(3n^5-4n^2+2\right)}}{3n^5-4n^2+2}\right)$$$$\phantom{a_n}=\frac23\left(1+\frac{12n^3+4n^2-81n-2+\frac{6}{n^2}}{3n^5-4n^2+2}\right)$$

Der vermutete Grenzwert dieser Folge ist mit \(\frac23\) angegben. Wir betrachten daher:$$b_n\coloneqq\left|a_n-\frac23\right|=\frac23\left|\frac{12n^3+4n^2-81n-2+\frac{6}{n^2}}{3n^5-4n^2+2}\right|$$

Ein Bruch wird größer, wenn wir seinen Nenner verkleinern:$$3n^5-4n^2+2=n^5+(2n^5-4n^2+2)\pink{\ge} n^5+(2n^{\pink4}-4n^2+2)$$$$\phantom{3n^5-4n^2+2}=n^5+\underbrace{2(n^2-1)^2}_{\ge0}\ge n^5$$

Das führt zu der Abschätzung:$$b_n\le\frac23\left|\frac{12n^3+4n^2-81n-2+\frac{6}{n^2}}{n^5}\right|=\frac{2}{3n}\left|\frac{12}{n}+\frac{4}{n^2}-\frac{81}{n^3}-\frac{2}{n^4}+\frac{6}{n^6}\right|$$$$\phantom{b_n}<\frac{2}{3n}\left|12+4+81+2+6\right|=\frac{210}{3n}=\frac{70}{n}$$

Damit wissen wir nun, dass für alle \(n\in\mathbb N\) gilt:$$\left|a_n-\frac23\right|<\frac{70}{n}$$Wähle nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig aus und halte es fest. Definiere \(n_0\coloneqq\lceil\frac{70}{\varepsilon}\rceil\), dann gilt$$n\ge n_0\implies n\ge\frac{70}{\varepsilon}\implies \frac{70}{n}\le\varepsilon\implies\left|a_n-\frac23\right|<\frac{70}{n}\le\varepsilon\quad\checkmark$$

Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es also eine natürliche Zahl \(n_0\coloneqq\lceil\frac{70}{\varepsilon}\rceil\), sodass für alle \(n\ge n_0\) der Betrag \(|a_n-\frac23|<\varepsilon\) ist.

Per Definition konvergiert \(a_n\) dann gegen \(\frac23\).

Comments

Deine Abschätzung hat einen kleinwinzigen Fehler: Die erste Ungleichung nach "Das führt zur Abschätzung" ist falsch für n=1

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Wieso das? Es steht doch im Betrag:$$\phantom=\left|\frac{12n^3+4n^2-81n-2+\frac{6}{n^2}}{3n^5-4n^2+2}\right|=\frac{\left|12n^3+4n^2-81n-2+\frac{6}{n^2}\right|}{\left|3n^5-4n^2+2\right|}$$$$\le\frac{\left|12n^3+4n^2-81n-2+\frac{6}{n^2}\right|}{\left|n^5\right|}=\left|\frac{12n^3+4n^2-81n-2+\frac{6}{n^2}}{n^5}\right|$$

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Entschuldige, es ist nicht die erste Ungleichung sondern die 2. mit <. Der Term vor dem < liefert für n=1 dne Wert |-61| und dann < 22

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Ah, jetzt sehe ich es...

Danke dir, habe es korrigiert ;)