Wie berechne ich die Maxima, Minima und Wendepunkte der Funktion y= x^6 - 1,2x^5 - 9x^4?

Question

Kann die Funktion 6. Grades nicht lösen.

Berechnen Sie Maxima, Minima und Wendepunkte der Funktion y= x⁶ - 1,2x⁵ - 9x⁴  und zeichnen Sie den Funktionsgraphen.

Answer 1

Für Maxima und Minima gilt die notwendige Bedingung: f'(x) = 0:

f(x) = x⁶ - 1.2 x⁵ - 9x⁴

f'(x) = 6x⁵ - 6x⁴ - 36x³ = 6x³*(x²-x-6)

Eine Nullstelle von f' lässt sich direkt ablesen: x = 0

Für weitere Nullstellen muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden:

x²-x-6 = 0

Mit der pq-Formel erhält man:

x_1/2 = 1/2±√(1/4+6) = 1/2±5/2

x₁ = 3
x₂ = -2

Nun muss noch die zweite Ableitung geprüft werden:

Gilt an einer kritischen Stelle f''(x) > 0 , dann liegt ein Minimum vor, gilt f''(x)<0, dann liegt ein Maximum vor:

f''(x) = 30x⁴-24x³-108x²

f''(0) = 0, hier kann keine Aussage getroffen werden, ich komme nachher darauf zurück
f''(3) = 810 > 0, es liegt also ein Minimum vor
f''(-2) = 240 > 0, es liegt also ein Minimum vor

Bei einer stetigen Funktion (und f ist als Polynom stetig) muss zwischen zwei Minima aber immer ein Maximum liegen, also ist x=0 ein Maximum der Funktion.

An Wendestellen gilt die notwendige Bedingung f''(x)=0

0 = 30x⁴-24x³-108x² = 30x²*(x²-0.8x-3.6)

Wieder ist eine Lösung x=0. Wir wissen ja aber bereits, dass es sich dabei in Wirklichkeit um eine Extremstelle handelt, das bedeutet, dass hier keine echte Wendestelle vorliegt. Für weitere Lösungen:

x² - 0.8x - 3.6 = 0

pq-Formel: 2/5 ± √(4/25+18/5) = 2/5±√(94)/5

Das lässt sich nicht weiter zusammenfassen. Wir wissen aber bereits, dass das tatsächlich Wendestellen sind, denn zwischen einem Minimum und einem Maximum liegt immer eine Links-Rechts-Wendestelle und umgekehrt.

Answer 2

f(x) = x^6 - 1.2·x^5 - 9·x^4
f '(x) = 6·x^5 - 6·x^4 - 36·x^3
f ''(x) = 30·x^4 - 24·x^3 - 108·x^2

Extrempunkte f '(x) = 0

6·x^5 - 6·x^4 - 36·x^3 = 0
6·x^3·(x^2 - x - 6) = 0
x1 = 0
x2 = -2
x3 = 3

f(0) = 0 Hochpunkt
f(-2) = -41.6 Tiefpunkt
f(3) = -291.6 Tiefpunkt

Den Nachweis auf Hoch und Tiefpunkte brauche ich nicht erbringen, er geht aus der Skizze hervor.

Wendepunkte f ''(x) = 0

30·x^4 - 24·x^3 - 108·x^2 = 0
6·x^2·(5·x^2 - 4·x - 18) = 0
x1 = 0
x2 = 2/5 + √94/5 = 2.339071942
x3 = 2/5 - √94/5 = -1.539071942

f(0) = 0
f(2/5 + √94/5) = -189.6548884
f(2/5 - √94/5) = -26.84482357

Hier eine kleine Skizze