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Aufgabe:

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Text erkannt:

\( \int\left(\frac{1}{3}\right)^{x} d x \)


Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, kann jemand helfen?

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Aloha :)

Betrachte allgemeiner das Integral mit \(a>0\) und setze am Ende \(a=\frac13\) ein.

Da Funktion und Umkehrfunktion ihre Wirkung gegenseitig kompensieren gilt:$$\int a^x\,dx=\int e^{\ln(a^x)}dx=\int e^{x\ln(a)}\,dx$$Substituiere nun wie folgt:$$u\coloneqq x\ln(a)\implies\frac{du}{dx}=\ln(a)\implies dx=\frac{du}{\ln(a)}$$und erhalte:$$\int a^x\,dx=\int e^u\,\frac{du}{\ln(a)}=\frac{1}{\ln(a)}\,e^u+C=\frac{1}{\ln(a)}e^{x\ln(a)}+C=\frac{a^x}{\ln(a)}+C$$

Speziell für \(a=\frac13\) heißt das:$$\int\left(\frac13\right)^x\,dx=\frac{1}{\ln\left(\frac13\right)}\left(\frac13\right)^x+C=-\frac{1}{\ln(3)}\left(\frac13\right)^x+C$$

Avatar von 152 k 🚀
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Die Ableitung von (1/3)^x ist (1/3)^x*ln(1/3) = (1/3)^x*(-ln3)

-> F(x) = (1/3)^x/(-ln3) +C

Allgenmein:

f(x) = a^x

F(x) = a^x/ln(a) +C

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