Aloha :)
Betrachte allgemeiner das Integral mit \(a>0\) und setze am Ende \(a=\frac13\) ein.
Da Funktion und Umkehrfunktion ihre Wirkung gegenseitig kompensieren gilt:$$\int a^x\,dx=\int e^{\ln(a^x)}dx=\int e^{x\ln(a)}\,dx$$Substituiere nun wie folgt:$$u\coloneqq x\ln(a)\implies\frac{du}{dx}=\ln(a)\implies dx=\frac{du}{\ln(a)}$$und erhalte:$$\int a^x\,dx=\int e^u\,\frac{du}{\ln(a)}=\frac{1}{\ln(a)}\,e^u+C=\frac{1}{\ln(a)}e^{x\ln(a)}+C=\frac{a^x}{\ln(a)}+C$$
Speziell für \(a=\frac13\) heißt das:$$\int\left(\frac13\right)^x\,dx=\frac{1}{\ln\left(\frac13\right)}\left(\frac13\right)^x+C=-\frac{1}{\ln(3)}\left(\frac13\right)^x+C$$
