Vektoren, Ermittlung von Koordinaten

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A (-1, 3,2) und B (1, 2,4) und g ist die Gerade durch die Punkte A und B. Die Punkte P & Q liegen auf g und haben den Abstand 9LE vom Punkt A, ermitteln Sie die Koordinaten von P & Q…

Problem/Ansatz:

… Ich weiß nicht, wie der Abstand von 9LE mir bei der Ermittlung der Koordinaten helfen soll. Kann mir jemand helfen? Danke

Answer 1

Hallo Sophia,

… Ich weiß nicht, wie der Abstand von 9LE mir bei der Ermittlung der Koordinaten helfen soll.

mache Dir ein Bild von der Aufgabe

\(P\) und \(Q\) liegen auf der Geraden \(g\) (oben blau) und haben vom Punkt \(A\) den Abstand \(9\). Wenn man jetzt weiß wie lang der Vektor \(\vec{r}=B-A\) ist, dann könnte man doch diesen Vektor so verlängern (oder verkürzen), dass er die Länge \(9\) hat. Und dann addiert und subtrahiert man den in der Länge veränderten Vektor zu \(A\) und kommt zu \(P\) und \(Q\)

Weißt Du wie man die Länge von \(\vec{r}=B-A\) berechnet?

....

zur Kontrolle kannst Du die Ergebnisse von \(P\) und \(Q\) unten ablesen. Wenn Du auf das Bild klickst, siehst Du es besser

   

Comments

Danke, ja ich denke schon. Bei welcher der 3 Koordinaten müsste ich die 9 LE anwenden?

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ja ich denke schon. Bei welcher der 3 Koordinaten müsste ich die 9 LE anwenden?

aus Deiner Frage schließe ich, dass Du nicht weißt, wie man die Länge eines Vektors berechnet.

Du weißt doch wie man die Länge einer Hypotenuse (hier die Seite \(AC\)) bei einem rechtwinkligen Dreieck berechnet. Nach Pythagoras gilt hier:$$|AC| = \sqrt{|AB|^2+|BC|^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$$Genauso ist es bei einem Vektor (im 2-dimensionalen)$$\vec{v} = \begin{pmatrix}4\\ 3\end{pmatrix} \implies |\vec{v}| = \sqrt{4^2+3^2} = 5$$D.h in Deinem konkreten Fall ist$$\vec{r} = B- A = \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$quadriere alle Koordinaten und bilde die Wurzel aus der Summe der Quadrate.

Wie lang ist jetzt \(\vec{r}\)?

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Die Länge des Vektors wäre dann 3

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Die Länge des Vektors wäre dann 3

Richtig - und mit welchem Faktor mus man 3 multiplizieren, damit 9 heraus kommt ?

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Mit dem Faktor 3

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Mit dem Faktor 3

Wieder richtig - also multipliziere \(\vec{r}\) mit dem Faktor 3 und addiere das Produkt zu \(A\). Das Ergebnis ist ein Vektor, der \(3\cdot 3 = 9\) Längeneinheiten von \(A\) entfernt ist und auf \(g\) liegt. Dann hast Du \(P\).

Und dann subtrahiere das Produkt von \(A\) und dann kommst Du zu \(Q\).

Was sind dann Deine Ergebnisse?

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Ich habe für P (5,0,8) und Q (-7,6,-4)

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Ich habe für P (5,0,8) und Q (-7,6,-4)

Ja super! das ist richtig. Oben in meiner Antwort habe ich Dir noch ein Bild hinzu gefügt. Da kannst Du Dir die Szene auch in 3D anschauen, wenn Du auf das Bild klickst (nicht auf dem Handy).

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Vielen Dank für die Hilfe