lokal beschränkte Familien sind nicht beschränkt

Question

Hallo zusammen

Ich versuche zu beweisen, dass eine lokal beschränkte Familie nicht beschränkt ist.

Die Definitionen sind wie folgt:

Def. beschränkte Familie: Eine Familie F von holomorphen Funktionen in einem Bereich D heisst beschränkt, in einer Teilmenge A von D, wenn e eine reelle Zahl M>0 gibt, so dass für alle f in F gilt: |f|_A ≤ M.

Def. lokal beschränkte Familie: Eine Familie F heisst lokal beschränkt in D, wenn jeder Punkt z ∈D eine Umgebung U ⊂D besitzt, so dass F in U beschränkt ist.

Ich habe versucht die Behauptung an der Familie bestehend aus den Funktionen f_n  : \E →\C, f_n  (z)= n • zⁿ nachzuprüfen. Also zu zeigen, dass die Familie lokal beschränkt, jedoch nicht beschränkt ist. Wobei \E die Menge aller komplexen Zahlen mit Absolutbetrag <1 ist.

Ich stehe leider bei beiden zu beweisenden Sachen komplett an.

Vielen Dank für Eure Hilfe.

LG

mathstudent1234

Answer 1

Hallo,

zunächst solltest Du die Aufgabenstellung korrigieren:

dass eine lokal beschränkte Familie nicht beschränkt ist.

Richtig: dass eine lokal beschränkte Familie nicht notwendig beschränkt ist.

ich sehe nicht, dass Deine Funktionenfamilie die Eigenschaften für ein Gegenbeispiel hat.

Wir wäre es denn mit dem offenen Einheitskreis D und der Familie, die nur aus

$$f:D \to \mathbb{C}, \quad f(z):=(z-1)^{-1}$$

besteht?

Answer 2

Hallo mal wieder,

die Aussage, die du zu beweisen versuchst, ist wohl: "Es existiert eine lokalbeschränkte Familie, die nicht beschränkt ist.", korrekt?

Deine Familie \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}:\mathcal{B}_1(0)\to\mathbb{C}\) gegeben durch \(f_n(z)=nz^n\) erfüllt den Job, denn:

1. Die Familie ist lokalbeschränkt: Ist \(z_0\in\mathcal{B}_1(0)\) ein beliebiger Punkt und sei \(\varepsilon:=\frac{1-|z_0|}{2}\), dann gilt für alle \(z\in\mathcal{B}_\varepsilon(z_0):|z|<1-\varepsilon<1\), folglich gilt für jedes \(z\in\mathcal{B}_\varepsilon(z_0)\): \(|f_n(z)|<n\cdot(1-\varepsilon)^n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\). Sei \(c\) das Maximum dieser Nullfolge, dann gilt also für alle \(n\in\mathbb{N}\) und alle \(z\in\mathcal{B}_\varepsilon(z_0)\):\(|f_n(z)|\leq c\), was die Lokalbeschränktheit beweist.

2. Die Familie ist nicht beschränkt: Sei \(z_n:=n^{-\frac{1}{2n}}\). Dann ist \(f_n(z_n)=n\cdot(z_n)^n=n\cdot n^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}+\infty\), wobei alle \(z_n\in\mathcal{B}_1(0)\), also kann \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) keine beschränkte Familie sein.