Beweisaufgabe zur Teilbarkeit

Question

Aufgabe:

Zeige: Aus 9 teilt x²+y²+z² folgt, dass 9 eine der Zahlen x²-y², y²-z² oder z²-x² teilt!

Problem/Ansatz:

Ich habe probleme das zu beweisen, kann mir wer helfen?

Answer 1

9 teilt √2^2 + √3^2 + √4^2

(√3^2 - √2^2) = 1, (√4^2 - √2^2) = 2 und (√4^2 - √3^2) = 1 werden aber nicht durch 9 geteilt.

Wo habe ich einen Fehler gemacht?

Comments

Ich würde sagen bei der Wurzel zu Beginn in Hinblick auf Wurzelgesetze?

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Könntest du das näher erläutern? Ich sehe dort keinen Fehler.

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Ich vermute stark, dass nur natürliche Zahlen zugelassen sind.

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Ich vermute stark, dass nur natürliche Zahlen zugelassen sind.

Dann gehört sowas in die Aufgabenstellung mit hinein.

Und gerade Studenten sollten Aufgabentexte vollständig und fehlerfrei abtippen können.

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Natürlich, aber das ist die komplette Aufgabenstellung, da steht nichts Anderes dabei! Ich habe den Beweis nochmal mit Fällen probiert:

a² ist kongruent 0,1,4,7 mod 9,

Fall1: Wenn 9 sowohl x² als auch y² und z² teilt dann muss die Behauptung gelten

Fall 2: Wenn 9  entweder x² oder y² oder z² teilt und die die nicht durch 9 teilbar sind einen Rest von 1,4 oder 7 haben so folgt, dass 9 entweder x²-y² oder z²-x² oder y²-z² teilt

Fall 3: Hat genau eine der Zahlen x²,y² oder z² den Rest 1,4 oder 7 und sind die beiden anderen durch 9 teilbar, so folgt, dass 9 entweder x²-y² oder z²-x² oder y²-z² teilt

Also ist ja mind. eine Zahl durch 9 teilbar.

Aber ich hab das Gefühl da fehlt was...

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Bezüglich deiner Frage, soll das ein Gegenbeispiel sein?

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Ja. Meines wäre ein Gegenbeispiel. Ist aber nur gültig, wenn es nicht um ganze Zahlen x, y, z geht.

Wenn du über die Teilung mit Rest da rangehst, dann setzt du offensichtlich ganze Zahlen voraus.

Wenn das allerdings nicht in der Aufgabe steht, langt ein Gegenbeispiel.

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Wenn in der Aufgabe steht "zeige", dann ist die Aussage offensichtlich wahr (wenn die Aufgabe korrekt gestellt ist). Andernfalls würde da sowas stehen wie "prüfe".

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Ja die Aufgabe ist korrekt gestellt, es gibt ja verschiedene Möglichkeiten die Aufgabe zu lösen oder? Wenn man jetzt von ganzen Zahlen ausgeht, würde mein Beweis dann stimmen oder fehlt beim Beweis etwas? Danke zunächst mal

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Ich denke, die Fallunterscheidung ist nicht zielführend. Es geht darum, dass die Summe der Quadrate durch 9 teilbar ist.

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Wenn die Summe dreier Quadratzahlen durch 9 teilbar ist, dann müssen die Summen der Reste Modulo 9 ebenso durch 9 Teilbar sein. Da gibt es ja nur folgende Möglichkeiten:

0·9 = 0 + 0 + 0
9 = 1 + 1 + 7
9 = 1 + 4 + 4
2·9 = 4 + 7 + 7

In jedem Fall sind mind. zwei der drei Reste gleich und damit ist die Differenz 0 und damit die Differenz der Quadratzahlen auch durch 9 teilbar.

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Ok dankeschön, hab ich zu viel Gedacht

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Und wie gesagt. Die Aufgabe ist so wie sie steht nicht korrekt bzw. unvollständig. Man kann nichts zeigen, was so wie es da steht nicht gilt.