Zeigen, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. (Log im Exponenten)

Question

Aufgabe:

Zeigen, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ 5^{ -logn} }$

Problem/Ansatz:

Ich habe überlegt, ob da vielleicht das Wurzelkriterium funktioniert, aber ich weiß nicht, wie man aus 5 ^ log n die nte Wurzel ziehen soll :(

Comments

5^(-ln) = 1/5^(lnn)  ist eine Nullfolge, der Nenner geht gegen oo.

Das reicht aber nicht aus.

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+5%5E%28-lnn%29+from+1+to+in…

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Kann jemand den Unterschied zu https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%281%2F5%29%5E%28log%28n%29… erklären ?

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$\sqrt[n]{5^{ -logn} } = 5^\frac{-logn}{n}$

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Kurze Anmerkung:
Wenn $\log$ hier nicht für $\ln$, sondern für $\log_{10}$ steht, divergiert die Reihe.

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wolfram verwendet lg für log_10, manche, ältere TR auch. Oder hier:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/natuerl…

aber:

ln und log sind die Tasten, die du zum Logarithmus auf dem Taschenrechner findest. ln bezeichnet den natürlichen Logarithmus. Das ist der Logarithmus zur Basis e. Die Taste log ist für den dekadischen Logarithmus, den Logarithmus zur Basis 10.

Gibt es immer noch keine allgemeine Konvention?

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Der Dozent meint wohl ln...

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Das scheint wohl international üblich zu sein.

Dennoch könnte ein Definition nicht schaden. Als Dozent sollte er wissen, dass Eindeutigkeit nicht gegeben ist. Meine alter Casio-TR verwendet log als log_10.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst das $n$ und die $5$ vertauschen, denn$$5^{\log(n)}=e^{\log\left(5^{\log(n)}\right)}=e^{\log(n)\log(5)}=e^{\log\left(n^{\log(5)}\right)}=n^{\log(5)}$$

Damit wird die Summe zu:$$S=\sum\limits_{n=1}^\infty 5^{-\log(n)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{5^{\log(n)}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\log(5)}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\alpha}}\quad\text{mit }\alpha=\log(5)>1$$

Die allgemeine harmonische Riehe $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\alpha}}$ divergiert für $\alpha\le1$ und konvergiert für $\alpha>1$.

Daher ist die vorliegende Reihe konvergent.

Comments

Wie kommt man auf den Summenwert?

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Oha, das mit dem Vertauschen kannte ich noch nicht, danke! Ich werden das mal durcharbeiten :)

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Wie kommt man auf den Summenwert?

Das ist nichts, was man händisch ausrechnen kann (und war deshalb auch nicht Bestandteil der Aufgabe).

Oder wolltest du wissen, wie wolframalpha darauf gekommen ist?

Sicher mit Addition der ersten Summanden und einer geeigneten Restgliedabschätzung für den Abbruch.

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Oder wolltest du wissen, wie wolframalpha darauf gekommen ist?

Genau das.

einer geeigneten Restgliedabschätzung

Was ist das und wie macht man das, wenn es einem Laien wie mir ohne bestimmte Vorkenntnisse erklären kann?

Mir kommt das sehr aufwändig/kompliziert vor.

Answer 2

Hattet Ihr das Cauchy'sche Verdichtungskriterium?

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium

Comments

Steht im Skript, insofern "hatten wir's", aber ich hab es noch nie verwendet. Das kann man hier anwenden?

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Hier der Beweis mit Cauchy'schem Verdichtungskriterium

T

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Vielem Dank! :)