Quotientenregel, wie wurde hier zusammengefasst?

Question

Text erkannt:

c) \( f(x)=\frac{7 x-2}{(x+3)^{4}} \)

Hallo miteinander,

Das ist die gegebene Funktion. Ich habe die erste Ableitung nach der Quotientenregel gemacht. Ich habe dann ganz normal alles aufgeschrieben und abgeleitet. Im folgenden habe ich zwei Kästchen von der Lösung markiert, bei der ich nicht weiß, wie man zusammengefasst hat bzw. weiter gekommen ist:

Text erkannt:

c)
\( f^{\prime}(x)=\frac{7 \times(x+3)^{4}-(7 x-2) \times 4 \times(x+3)^{3}}{(x+3)^{8}}=\frac{7 \times(x+3)-4 \times(7 x-2)}{(x+3)^{5}} \)

Das erste schwarze Kästchen: Bei (x+3) ist das hoch 4 verschwunden?/ Wie kommt das -4 zustande? Warum ist das (x+3)³ verschwunden? Und warum steht im Nenner (x+3)⁵ statt (x+3)⁸ wie auf der linken Seite?

Das zweite schwarze Kästchen: Hier wurde anscheinend nochmal zusammengefasst von dem ersten roten Kästchen: 7x*-4=21x, das ist mir noch klar, wie kommt aber die +29 zustande?

Answer 1

Es wurde mit (x+3)^3 gekürzt.

Klammere (x+3)^3 im Zähler aus.

vgl:

(ab^4- cb^3)/ b^8 = (b^3(ab-c))/b^8 = (ab-c)/b^5

Comments

In der Lösung hat der Prof *4 einfach hinter dem Term verschoben und daraus ein -4 gemacht, ist das erlaubt?

Answer 2

\( f(x)=\frac{7x-2}{(x+3)^{4}} \)

\( f'(x)=\frac{7\cdot(x+3)^{4}-(7x-2) \cdot 4\cdot (x+3)^{3}}{(x+3)^{8}} \)

\( f'(x)=\frac{7\cdot(x+3)-(7x-2) \cdot 4}{(x+3)^{5}} \)

\( f'(x)=\frac{7\cdot(x+3)+(2-7x) \cdot 4}{(x+3)^{5}} \)

\( f'(x)=\frac{7x+21+8-28x}{(x+3)^{5}} \)

\( f'(x)=\frac{29-21x}{(x+3)^{5}} \)

Comments

warum hast du(2 und -7x) umgedreht in der klammer?

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Und du hast ein Vorzeichen Fehler , zwischen den Termen stand immer - du hast jedoch ab der dritten Zeile immer ein + zwischen den Termen gesetzt

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\( - (a-b) = (b-a) \)