Wie löst man den Induktionsbeweis bei dieser Aufgabe?

Question

Aufgabe:

Kann mir jemand helfen wie ich hier weiter mache. Ich weiß nicht ganz genau was ich mit der Gleichung ai+3 anfangen soll.

Soll ich da ak+1 einfügen?

Änderung:
Ich habe jetzt als Ergebnis 3^k+3 +4^k+3+7^k+3.

Habe ich da etwas falsches gemacht bei Induktionsbehauptung?

Answer 1

Hallo

du kannst nicht von k auf k+1schließen, da du ja immer 3 Vorgänger brauchst also musst du aus der richtigen Vors für k, k+1, k+2  auf a_k+3 schließen

Gruß lul

Comments

Also ist ak+3 die Induktionsbehauptung?

Answer 2

Der Induktionsschritt könnte etwa wie folgt aussehen:$$\begin{aligned}a_{n+3}&=14{\cdot}a_{n+2}-61{\cdot}a_{n+1}+84{\cdot}a_n\\&=14{\cdot}\big(3^{n+2}+4^{n+2}+7^{n+2}\big)-61{\cdot}\big(3^{n+1}+4^{n+1}+7^{n+1}\big)+84{\cdot}\big(3^n+4^n+7^n\big)\\&=27{\cdot}3^n+64{\cdot}4^n+343{\cdot}7^n\\&=3^{n+3}+4^{n+3}+7^{n+3}.\end{aligned}$$